零是无穷小吗？

五年前，党的十八大之后，无穷小放飞互联网，基于紧致性定理的鲁宾逊无穷小首次与广大读者见面了。

无穷小是一个美学概念，不易琢磨，需要极其小心地定义。世界知名模型论专家J.Keisler给出了精确的数学定义。

袁萌  5月27日

附：

无穷小（Infinitesimal）的数学定义 (此文发表于2013-06-21)

      毫无疑问，莱布尼兹是无穷小（理想数）的发明者。如果莱布尼兹能够穿越时空来到现在，当他看到人们把以零为极限的函数叫做“无穷小”时，一定会笑掉大牙。莱布尼兹为什么会笑掉大牙？当年莱布尼兹发明的无穷小的现代数学定义如下：

I. THE EXTENSI ON PRINCIPLE

(a) The real numbers form a subset of the hyperreal numbers, and the order relation x < y for the real numbers is a subset of the order relation for the hyperreal numbers.

(b) There is a hyperreal number that is greater than zero but less than every positive real number.

(c) For every real function f of one or more variables we are given a corresponding hyperreal function f* of the same number of variables. f* is called the natural extension of f .

Part (a) of the Extension Principle says that the real line is a part of the hyperreal line. To explain part (b) of the Extension Principle, we give a careful definition of an infinitesimal.

DEFINITION

A hyperreal number b is said to be:

positive infinitesimal if b is positive but less than every positive real number.

negative infinitesimal if b is negative but greater than every negative real number.

Infinitesimal if b is either positive infinitesimal, negative infinitesimal. or zero.

由以上所述，我们可以看出，无穷小只有在超实数系*R里面才有严格定义，只不过无穷小相对于传统实数而言更为接近零点而已。如果两个超实数相差一个无穷小，则称两者“无限接近”。......看到超实数，莱布尼兹终于微笑了，因为，这就是莱布尼兹所梦寐以求的东西。我们要为莱布尼兹的无穷小理论进行辩护，责无旁贷也。

无穷小是否存在？这是另一个问题。如果无穷小存在，那么，它就应当是这个样子。在1948年，28岁的数学家Edwin Hewitt(1920-1999)发明了超实数（Hyperreals），至今已经有60多年了。但是，我们国内的大学生们还不知道超实数是什么，那么，怎么做好”中国梦“呢？我们要做一个“超级梦”(Hyperdream)！

说明：以上英文原文摘自 J. Keisler《基础微积分》的原著。希望大家认真研读，透彻领会其中的基本思想。（全文完）

袁萌  2013年6月21日