关于传统微积分的病态

   今年高考即将进行。人们把小宝贝送进大学，学习传统微积分，灌输数学谬论，很是可悲。为什么？

袁萌  5月28日

附:  传统微积分学的病态（本文明发表于2013年10月12日）

   在传统微积分学中，关于函数f的(逐点定义)导数（Derivatives）是一个最基本的概念。但是，它有时却给传统微积分学带来了麻烦，使传统微积分学出现反直观的“病态”（Pathology）。

  给定函数

                            f(x) = 0,      if x = 0;

                            f(x)= x + x2sin(π/x)    if x ≠ 0

注：式中”x2”代表x的二次方。

容易证明，该函数f在0点处的导数值f'(0)= 1 > 0，但是，该函数f在包含0点的任意领域内都不是“增函数”，函数图形呈现出上下摆动状态，直接违反了人的直观预期。

我国现行普通高校“十一五”国家级规划教材《高等数学》（同济大学编写）第三章第四节（函数单调性的判定，第145页）写道：“......函数的单调性与导数的符号有着密切的联系”，严重误导了90后在校大学生。

针对逐点定义导数的这种“病态”，K.D.Stroyan教授建议采用所谓”一致性导数“（UniformDerivatives）。实际上，引入“一致性导数”的最佳途径是回归无穷小微积分学。

在无穷小微积分学里面，如果函数f满足条件：

（*）   f(x+ x) - f(x) = f'(x)x + ε x      ∀x ∈ (a，b)

其中x与ε都是所谓的“无穷小”，则称函数f'是函数f在开区间（a，b）中的“一致性导数”。

我们注意一件很有意思的事情：在以上（*)式中，如果在x的尺度上来看该函数的微观局部图形（表现），由于“ε”这一尾项是相对于x的更为微小的”数量“（Teeny tiny quantity），因而，用肉眼是应该看不见的。这就是说，上述（*）式变成了f(x+ x) - f(x) = f'(x)x，这正好是一条无穷小的直线段，印证了“curves consist of infinitesimal straight segments”这句古话，意思是，曲线是由无穷小的直线段所组成。严格地讲，传统微积分学关于曲线与其切线的示意图都是脱离实际的，完全是杜撰出来的。

当前，在科技发达国家，无穷小又回归微积分学。这是不奇怪的事情，因为，基于现代数学严格意义上的无穷小（量）只是一种无限接近于零的超实数而已，不是什么”玄学“的研究对象。（全文完）