三论集合论的公理系统

  五年前，我用形式语言表述了集合论的公理系统（1980年发表的Kunen模式），现在重新发表如下：

袁萌  3月20日

附：

公理化集合论是对康托尔集合论的继承与发展 (2013-02-01 01:59:17)[编辑

集合论的公理系统有许多等价的表述方式。为简洁起见，我们采用一阶逻辑符号语言来表述，即采用1980年Kunen提出的模式：

     A1外延公理: ∀x∀y∀z(z∈x↔z∈y) ⇨ x=y

     A2基础公理：∀x[∃a(a∈x)⇨∃y(y∈x∧┑∃z(z∈y∧z∈x))]

     A3分离公理：∀z∀ω1∀ω2 ∀ωn∃y∀x[x∈y↔(x∈z∧φ)]

     A4配对公理：∀x∀y∃z(x∈z ∧ y∈z)

     A5并集公理：∀F∃A∀Y∀x[(x∈Y∧Y∈F)⇨ x ∈A]∀

    A6替代公理：

    ∀A∀ω1∀ω2 ∀ωn [∀x(x∈A⇨∃!yφ)⇨ ∃B∀x(x∈A⇨∃y(y∈B∧φ))]

     A7无穷公理：∃X[Ǿ∈X∧∀y(y∈X ⇨S(y)∈X)]

     A8幂集公理：∀x∃y∀z[z ⊆x ⇨ x∈y]

      A9良序定理：∀X∃R（R well-orders X) 良序定理等价与选择公理AC。

以上就是ZFC公理系统的一阶逻辑的表述方式。初看起来，一头雾水，不知所云。但是，仔细一想，也不是什么深不可测的事情。A3分离公理，其中φ表示含有变元ω1、ω2、 、ωn的任意公式。A6替代公理，符号“∃!y”存在唯一的y。A7无穷公理，其中S（y) = yᑌ{y}，是一种缩写方式。符号“∧”是逻辑连接词“and”的意思。

设想我们在思考微积分学问题，严格讲来，思考的每一步骤都离不开以上9条ZFC公理，只是我们自己心中不知而已。在此，我们顺便举一例如下：考虑无限命题集合：0<</span>ε<1/1,0<</span>ε<1/2,0<</span>ε<1/3,......,0<</span>ε<1/n,......

不难看出，对于前n个命题，存在一个符号εn，满足这n个命题，这个符号εn只要取值很小即可。根据哥德尔紧致性定理，将无限命题串

                0<ε<1/1,0<ε<1/2,0<ε<1/3,......,0<ε<1/n,......

加入ZFC公理系统，也必将有新模型存在。也就是说，存在一个符号ε满足0<</span>ε<1/1,0<</span>ε<1/2,0<</span>ε<1/3,......,0<</span>ε<1/n,......           容易看出，这个符号ε就是所谓的”无穷小“。A. Robinson的非标准分析就是由此开始的。J. Keisler的无穷小微积分只不过是跟在A. Robinson后面小跑而已。

总之，ZFC公理化集合论是对50年前康托尔集合论的继承与发展。没有ZFC系统也就不会有非标准分析（NSA）的出现。

说明：紧致性定理的意思是，命题集S有模型，充分必要条件是，命题集S的任意有限子集合有模型。从紧致性定理出发，存在无穷小是很自然的事情。

                   （全文完）