弗雷格的伟大历史贡献：量词的引入

记得，60年前：1957年的初秋，我进入南京大学数学天文系学习数学。莫绍揆先生在授课中大量使用逻辑“量词”，感觉怪怪的，不知是什么人发明的这玩意儿。

                实际情况是，“量词”的引入是逻辑学发展历史上的一个标志性的“转折点”。

应该说，有了“量词”就有了“量词语句”，从而也就有了形式语言，催生了整个二十世纪的数学的全面形式化。从本质上来说，当代数学就是形式化的数学。离开形式语言，谈何数学？

坦率地说，无穷小微积分离不开模型论（！），而模型论就是一套形式语言的逻辑系统。

量词理论是谁发明的?从数学发展史上来看，全面引入量词是弗雷格在1879年对数学所作的最大贡献。

如今，形式化数学已经成为参天大树，无穷小微积分与计算机科学、人工智能（AI）都是这颗大树上生长出的新分支。

为了读者思考方便，现引用以下附件。

袁萌  10月29日

附件：

全称量词:

全称量词是指在语句中含有短语“所有”、“每一个”、“全部”、“一切”等都是在指定范围内，表示该指定范围内的全部对象或该指定范围整体的含义的词。 含有全称量词的命题叫作全称命题。全称量词的否定是存在量词。

全称量词在语句中含有短语“所有” 表示整体或全部的含义

含有全称量词的命题叫作全称命题。

全称量词注意：

在某些全称命题中，有时全称量词可以省略。例如棱柱是多面体，它指的是“所有棱柱都是多面体”。

1、“对所有的”、“对全部的”等词在逻辑中被称为全称量词，记作“∀”，含有全称量词的命题叫做全称命题。

对M中任意的x，有p(x)成立，记作∀x∈M，p(x)。

读作：每一个x属于M，使p（x）成立。

2、“存在一个”、“任意一个”等词在逻辑中被称为存在量词，记作“∃”，含有存在量词的命题叫做特称命题。

M中至少存在一个x，使p(x)成立，记作∃x∈M，p(x)。

读作：读作：存在一个x属于M，使p（x）成立。

否定：

1、对于含有一个量词的全称命题p：∀x∈M，p(x)的否定┐p是：∃x∈M，┐p(x)。

2、对于含有一个量词的特称命题p：∃x∈M，p(x)的否定┐p是：∀x∈M，┐p(x)。

全称量词全称命题

全称命题：其公式为“所有S是P。

全称命题，可以用全称量词，也可以用“都”等副词、“人人”等主语重复的形式来表达，甚至有时可以没有任何的量词标志，如“人类是有智慧的。”

由于代数定理使用的是全称量词（微积分学也是），因此每个代数定理都是一个全称命题。也正是全称量词使得使用带入规则进行恒等变换是代数推理的核心（请读者仔细体会这句话！）。（全文完）