罗素悖论催生现代模型论的诞生

1902年，英国哲学家罗素（Bertrand Russell，1872-1970）发现在传统朴素集合论存在似是而非的“悖”（Paradox），铁板钉钉，震动业界。

罗素使用传统集合论的几个符号，试问，以下等式成立于否

S={ x| x ∉ x}

十分显然，如果S∈S，那么，S∉S，反之，如果S∉S，那么，S∈S。由此可见，S是一个集合怪物，不是传统的集合。

如何在集合论中驱赶怪物，催生了公理化（完全采用形式化语言表述）集合论的诞生。到了上世纪50年代，美国数理逻辑大家Tarski，带领他的研究团队，对许多代数理论（群、环、域等），采用形式化语言进行分析研究发现，一个代数理论（句子集合），可能存在多种不同的“模型”。

The objects of study（模型论的研究对象） are models of theories in a formal language.但是，在模型论中，什么是“理论”呢？ 

在模型论中，“A set of sentences in a formal language is called a theory”，也就是说，形式语言写出来的“句子集合”就叫“理论”（当然假定这个句集有意义）。

人们使用同一理论的不同模型，可以根据需要进行自主选择。如果采用公理化方法，一切思想都用形式化语言表述，传统极限论微积分与无穷小微积分，都是同一种微积分学，只是采用的数学模型不同而已。

罗素悖论引发基础数学形式化方法（公理化方法）的大普及，导致模型论的诞生。

袁萌   2月22日