公理（Axioms）是什么？公理不就是几句话吗？有什么好大惊小怪的？事实并非如此。为什么？。

        哥德尔小时候经常被家人叫做”Mr. why“（”为什么“先生），比如他有时会问：为什么3+5=8，让人难于回答。1860年，H. Grassmann发现一个事实：许多算术”现象“可以由少数几条规则推导出来。由此，在1889年，意大利数学家皮亚诺（Peano）发表一组算术”公理“，让世人刮目相看，因为，那时数理逻辑还处在襁褓之中。

        简而言之，皮亚诺假定一个后继者（successor）运算S，规定符号0是自然数，S(0)也是自然数，自然数的后继者都是自然数，......由此建立起整个算术体系。比如，不难证明a+S(b)=S(a+b)，......因而，哥德尔的为什么就不难解释了。还需要规定，如果S(m)=S(n)，则m=n，......很明显下式成立：

                          a+ 1 = a+ S(0) = S(a+ 0) = S(a)

由此，可以告诉孩子们，为什么a的后继者S（a)是a+1了。类似地，引入乘法如下：

http://upload.wikimedia.org/math/7/9/0/7904c158853cd6592c9c9ca6a81b87c4.png

容易证明等式成立:

                    a 1 = a S(0) = a + (a 0) = a + 0 = a

          如果存在自然数c，使得a+c = b，则称：a≤b，由此，自然数的次序关系也建立起来了。因而，小学算术课也就有了”根据“。由此可见，算术的教学也存在改革的可能性。有了自然数集合Ni及其上面的”算术“（Arithmetic)，有理数，实数，直至微积分学就可以相继建立起来了。但是，哥德尔不完全性定理指出，超自然数集合*N是存在的。于是，无穷小微积分学也就必然出现了。所有这一切的总根子就是算术的公理化。

          当然，上述的说法过于简略，数学归纳法公理就没有提及。这里只想说明一个问题：公理化并不神秘，它引导数学向深入发展，是一种历史性的进步。有人反其道而行之，把数学搞得“支离破碎”，让人不得要领，以便从中”浑水摸鱼“，满足自己的私利（或私欲）。

           从现状来看，数学的各个分支先后都已公理化了。我们要顺着这条大道向前走，必然道路越走越宽广。死抱着那本烂教材《高等数学》是没有出路的。百万考研学子走在这条烂独木桥上，是可悲还是可喜呢？中国不缺少头脑聪敏的人才，全给烂教材耽误了。我决心尽快开通微积分教育普及网站，让外界的新鲜空气不断涌入进来，里面快憋死人了。