争取一个锦绣前程

           蔡笑晚教育家书连载

                                 蔡笑晚/文

1983.10.20 给天文信

您的10月12日信已于今天收到，得知您取得了上英语听力课的资格，我们大家都很高兴。这将为您以后留学或考研究生打好基础。望您努力学习争取出国留学，我们将全力支持，即使是自费，我们也将尽一切力量支持您。希望您时刻不放松，艰苦奋斗，为自已争取一个锦绣前程，为国争光，为家庭争光。

值此您自学几何学基础之际，我向您提供一个现代数学的基本线索：

(1)集合论：……

(2)分析学：……

(3)代数学：……

(4)几何学：……

(5)综  述：

                 1. 现代数学用公理法建立“集合论”的慨念，并在集合论的基础上用拓扑公理群建立了“拓扑空间”，对这种空间的研究得到“集合论拓扑学”。拓扑公理群的要求是如此之低以致它所定义的拓扑空间是如此广泛，所有分析学、代数学、几何学中的空间都能满足拓扑公理群的要求。所以分析学、代数学、几何学中的空间都是拓扑空间，于是拓扑空间所研究的是分析学、代数学、几何学所共有的。在拓扑空间基上再加上一些公理，使新的公理系统不但满足分析学的公理要求(成为可微分流形)，而且照顾到几何学的特征(引入度规张量g_ij)，则得黎曼空间。因为它满足几何学的特征，所以对它的研究可以得出全部几何学的结果。并由于满足分析学的公理要求，因此它是分析学的抽象空间的一个实现，所以就可以开展全部分析学的研究，于是几何学的结果可以在分析学的研究中得到了。     

2. 因几何对象变换满足群公理的要求，因此可以把代数学中的群论的研究用于几何学，这样几何学的结果可以在代数学的群论研究中得到。

3. 现代数学中的其他分支都是从三个基本公理群中分别选取不同的公理组成一个公理系统，建立抽象空间然后开展研究。由于所得的结果都是成立于抽象空间的命题，所以在每个具体的实现中都能成立。因此，现代数学理论虽然很抽象，但却具有很大的普遍性。

(4)例子：……

以上我一口气草草地慨括了现代数学的基本线索，望能好好地看一看，记在心里，可能对您的学习有开导作用。

有空给龙云哥写一封信，对大姑妈的不幸病逝表示哀悼，并向他表示慰问。