对“历史概念集合”数理逻辑化的初步研究

作者：张莱（安徽理工大学计算机系硕士）

［注：本论文曾经得到安徽省教委2005年重点项目资助。项目资金编号：2005kj034ZD。

作者：张莱，男，1977年10月生，曾为安徽理工大学计算机系2003级硕士研究生，已毕业。］

 —————————————————————————————

【英文提要】

Primary research on historical concept set

LAIZHANG

Department of Computer Science and Technology

Anhui University of Science and Technology， Huainan， China

ABSTRACT

The author has introduced a special kind of concept set——“historical concept set” named by Mr.He Xin in advance， then analysis it with abstract algebra theory， and pointed out， “historical concept set” is actually a kind of ordinal set.

Key：historical concept set， ordinal set

本文摘要：作者先简要介绍由何新先生所提出的“历史概念集合”这一特殊的概念类型，然后运用抽象代数的相关理论，对“历史概念集合”的本质作一些初步的分析和探讨，并指出：“历史概念集合”的本质是一种序集。

［关键词：历史概念集合、序集］

一

“概念”是逻辑理论的基础。古典形式逻辑认为，在任何两个概念之间，可能存在着五种关系：（1）全同关系；（2）上属关系；（3）下属关系；（4）交叉关系；（5）全异关系。近代集合论用三种集合运算简化了古典形式逻辑的这一理论，即：（1）集合的交运算∪；（2）集合的并运算∩；（3）集合的补运算~。这三种运算构成了整个近代集合论的基础。

但我国学者何新先生在其于1980至1982年间发表的一系列论文中指出，实际上，在概念之间还存在着另一种与上述五种关系都不同的关系。他用“种子”、“花”、“果实”这几个概念的关系为例，指出：“通过由‘种子’→‘果实’的这一组概念，描述了一株植物的发育生长史。”［1］。“类似的概念系统，不论在任何科学领域中，都是经常可以遇到的。”［2］他并指出，这种概念系统具有如下特征：

（一）这种概念系统中的每一个概念，都与一定的时间坐标相关联；

（二）通过在系统中一系列概念的有序过渡，这种概念系统地描述了某一事物的发展进程；

（三）这种系统中的每一个概念，都对应于事物的一定历史阶段。［3］

何新先生把这种由历史中实体的递进关系所联系起来的概念所组成的集合，称为“历史概念集合”，并对它作了如下定义：

“若有一个概念集合A，其中每一个子概念｛a1、a2……an｝，均分别对应于某一客体A的历史发展进程，而且彼此间具有递进有序的时序关系，则我们称集合A为描述客体A的历史概念集合。其一般形式可规定为：A｛a1→a2→……an｝。”［4］

二

下面，我们就运用抽象代数学中的相关内容，对何新先生所定义的“历史概念集合”作一番初步的分析。

按何新先生的对“历史概念集合”的定义，该集合中的任何一个元素ai都唯一地对应着一个特定的时间坐标ti。用集合论的术语来说，就是：对任一ai∈A，都能唯一确定一时间段

ti∈T（T为时间轴）与之对应。由此可见，在历史概念集合A与时间轴T之间存在着由A至T的单值映射关系。我们将它表示为f（ai）=ti。历史概念集合A为该映射的定义域，时间轴T为该映射的值域。

在讨论历史概念集合A之前，我们先来看看时间轴T具有哪些性质。

我们知道，时间有两个基本性质：单一性和不可逆性。根据这个性质我们可知，在时间轴轴上的各个时间段之间存在着一个二元关系，我称之为“递进”关系，该关系具有如下性质：

（1）自反性：对于任意ti∈T，有ti≤ti；

（2）反对称性：对于任意t1，t2∈T，若t1≤t2，且若t2≤t1，则t1=t2；

（3）传递性：对于任意t1，t2，t3∈T，若t1≤t2，t2≤t3，则t1≤t3。

由此可见，时间轴T是一个全序列集。因而，与历史概念集合A相对应的时间段集合也是一个全序集。由于是A的像，因而在A上，也必然有一对应的二元关系，我们用符号→来表示。它的定义是：若f（a）≤f（b），且当f（a）=f（b）时a=b，则a→b，任意a，b∈A。

这个二元关系具有以下性质是显而易见的：

（1）自反性：即a→a

证明：

∵T为全序集，

∴f（a）≤f（a），任意a∈A

∴a→a

证毕

（2）反对称性：若a→b且b→a，则a=b

证明：

∵a→b，

∴f（a）≤f（b）

∵b→a，

∴f（b）≤f（a）

∴f（a）=f（b）

∴a=b

证毕

（3）传递性：若a→b且b→c，则a→c

证明：

∵a→b且b→c，

∴f（a）≤f（b），f（b）≤f（c）

∴f（a）≤f（c）

∴a→c

证毕

由此可见，历史概念集合A也具备半序集的所有性质，因此它也是一个半序集，可用符号表示为：A=（~A，→），其中~A为子概念a1、a2……an所组成的集合。

需要注意的是，并非所有历史概念集合都是全序集。

三

根据以上讨论，我们可对“历史概念集合”作出如下初步结论：

1、“历史概念集合”与其他概念系统的不同之处，在于它在时间轴与概念集合之间建立了影射关系，由此在内部产生了序列结构；

2、因此，“历史概念集合”的本质是一种半序集，其中单一客体的历史概念集合是一个全序集；

3、因此，我们可以运用抽象代数的相关理论，对“历史概念集合”进行精确的定义和描述。

 【参考文献】

［1］《论“历史概念集合”》，何新，《学术月刊》1980年第11期，此处转引自《思辩逻辑》第63页，何新著，黑龙江教育出版社，2001年版。

［2］同上。

［3］同上。

［4］《论“历史概念集合”》，何新，《学术月刊》1980年第11期，此处转引自《思辩逻辑》第64页，何新著，黑龙江教育出版社，2001年版。

［5］《离散数学》，耿素云、屈婉玲 编著，高等教育出版社，1998年版。

历史概念类集符合于“演序”及“链”关系

作者：李晓（北京理工大学）

何新先生对“历史概念集合”是这样定义的：

若有一个概念集合A，其中的每一子概念｛a1，a2……an｝，均分别对应于某一客体A的历史发展进程，而且彼此之间具有递进有序的时序关系，则我们称集合A为描述客体A的历史概念集合。其一般形式可规定为：｛a1，a2……an｝。

钱学森先生这样描述“何新树”：“把集合论的VENN图扩展到三维空间成为‘何新树’，也就是把一个时间VENN图作为‘树’的横断面，以时间顺序把横断面一层层加在时间坐标上，再把外表连起来。”

由此看来，“历史概念集合”与形式逻辑所研究的概念的不同之处，就在于引入了一个时间坐标T。因此，我们有必要先研究一下这个时间坐标。

考虑到何新先生把历史概念集合的元素按照时间顺序排列并编号，我们自然可以在时间坐标轴上找到它们对应的点t1，t2，……tn。这样，我们可以把时间坐标轴本身看成一个集合：T｛t1→t2→……tn｝。它与历史概念集合A构成了一一对应的映射关系。在这里，T是历史概念的定义域，A是历史概念的值域。

下面，我们就来分析一下这个集合T。

1.首先我们可以看到，T中的元素不是孤立的、彼此无关的，而是按顺序排列的。这种“按顺序排列”，可以看作是一种定义在T上的二元关系，即“半序关系”（或称“偏序关系”）。因此，T为半序集，可记为（A，≤）或（A，R）。[2]

2. T中的每两个元素tm，tn，都满足tn→tm或tm→tn，因此，A是一个序集，或者称为“链”。

3.由于T的任意一个集合都有最大值和最小值，因此T是一个良序集合。

 

一位数学家给何新先生的一个建议　

作者：刘勃（上海·船舶工业研究所工程师）

（1）

一句话可以说明歌德尔定理，那就是：歌德尔定理完全等价于热力学第三定律；可数有限次操作达不到绝对零度。

只不过利用CF算术公理系统，歌德尔定理被数学严格证明。而第三定律还处于物理学体系里的一个“公理”的角色。随着物理学的深入，也许有一天这个第三定律也会成为物理学中的一个定理。

（2）

即便规定历史概念类为［A（T）；-N〈T〈+N］也应该注意对于任何确定的T值T0，A（T0）也是一个集合，因为根据自然现象以及马尔柯夫随机过程理论，A（T0）的后继并非是唯一的，而是可以依据不同概率分布达到多种状态。

如此规定的概念类自身的势起码可以达到康托势，即阿列夫1的势。在这个概念类定义下的系统恐怕将使歌德尔定理证明的方法不再适用，可也许依然被马克基数公理所约束。

如果不规定A（T0）为集合，而只把历史概念类集合定义为（A0-A1-A2……）的序列集的形式，那么这个概念类集合建立的任何系统都不会有新意，必然会被现有（甚至初等）集合论的某些结果所包含。

凡是现实的都是合理的：凡是在现实中发生和存在了的，都依据理性原则发生因而有必然性。这种必然性就是本体的因果性。