关于方程cos(α+β)=cosα+cosβ

大罕

      等式cos(α+β)=cosα+cosβ不是恒等式，不能把它作为公式使用.
      等式cos(α+β)=cosα+cosβ是条件等式，可视为关于α,β的方程.
       此方程的解怎么求？是一个饶有趣味的问题.

      原方程⇔cos²[(α+β)/2]-2cos[(α+β)/2]•cos[(α-β)/2]-1=0，() =4cos²[(α-β)/2]+8>0，
      ∴方程可以用一元二次方程的求根公式表达出来.(此处不支持公式编辑器，故略去，可参考跟帖附图)，再由诱导公式知，原方程有无穷多组解.
     遗憾的是，上述求解公式仅有理论上的意义，用它求解依然是困难的.
      我们更希望找到特殊解的表达式，这里所谓特殊解，是指用特殊角π/6, π/4, π/3, π/2构成的解. 这样，既富于美感，又让人们从心理上感到满足.

      注意到原方程的特点，左边一个余弦，右边两余弦之和. 考虑到余弦最大值为1，以及特殊角的余弦值，因  此，以下用穷举法.
      经检验，有且只有以下三种类型.

      类型一：1=1/2+1/2型.
      注意到cos0=1，且cos(-α)=cosα，于是，我们考察：
      α=2kπ+π/3，β＝2nπ-π/3，(k,n∈Z),
      此时，cos(α+β)=cos(2kπ+2nπ)=1，
      而cosα+cosβ=cos(π/3)+cos(-π/3) =1，满足原方程，故为原方程的解.
      例如，当k=n=0时，α=π/3，β＝-π/3，满足方程.

      类型二：-1/2=1/2-1型.
      先令cosβ=-1，则β=(2k+1) π，(k∈Z),
      又令cosα=1/2，则α=2nπ±π/3，(n∈Z)，
      再检验：cos(α+β)=cos(2kπ+2nπ+π±π/3) =cos(π±π/3)=-1/2，满足方程．
      故α=2nπ±π/3，β=(2k+1)π，(k,n∈Z)为原方程的解.
      例如，当k=n=0时，α=±π/3，β＝π，满足方程.

      类型三：√2/2=√2/2+0型.
      令cosβ=0，则β=kπ+π/2 (k∈Z)，
      又令cosα=√2/2，则α=2nπ±π/4 (n∈Z)，
      再验算：
      当α=2nπ-π/4时，β=2mπ+π/2(m∈Z)时，
      有 cos(α+β)=cos(2nπ+2mπ+π/2-π/4)=cosπ/4=√2/2，
      而cosα+cosβ=cos(2nπ-π/4)+cos(2mπ+π/2)=√2/2，满足方程；
      当α=2nπ+π/4时，β=(2m+1)π+π/2(m∈Z)时，有
      cos(α+β)=cos[2nπ+(2m+1)π+π/2+π/4)=cos7π/4=√2/2，
      而cosα+cosβ=cos(2nπ+π/4)+cos(2mπ+3π/2)=√2/2，满足方程；
      故α=2nπ-π/4时，β=2mπ+π/2，或α=2nπ+π/4，β=2mπ+3π/2(m,n∈Z)为原方程的解.
      例如，当m=n=0时，α= -π/4，β=π/2为一组解；α= π/4，β=3π/2亦为一组解.

      总之，方程cos(α+β)=cosα+cosβ的解可以归纳为三种类型，四个形式：
      类型一（1=1/2+1/2型）：
       α=2kπ+π/3，β=2nπ-π/3，
      类型二（-1/2=1/2-1型）：
      α=2nπ±π/3，β=(2k+1)π，
      类型三(√2/2=√2/2+0型)：
      α=2nπ-π/4，β=2mπ+π/2，
      α=2nπ+π/4，β=2mπ+3π/2，
 以上各式均有 k,m,n∈Z．

      【注】本文是在以下三位大伽给出个例答案的基础上写岀来的，是大家的成果．@杨育池（荆州）@潘嘉烽（东莞厚街）@史嘉（北京）