异面直线上两点间的距离公式与球面距离

大罕

　　异面直线a,b的公垂线段AB=d，所成的角为θ，点E、F分别在a、b上且在AB的同侧，AE=m，BF=n，则EF²=d²+m²+n²-2mncosθ，这就是标题所指的公式．

　　有些题目，套用公式即可解决，这是练习意义的运用。真正具有“实战”性的，就是在地球坐标下求球面上两点的距离．

　　【例】地球上两地A、B，其中A位于北纬30°，东经31°，B位于南纬60°，东经151°，设地球的半径为R，求A、B两点的球面距离.

　　解：A、B两地所在位置如图所示，O₁、O₂分别是北纬30°、南纬60°所在小圆的圆心，O₁A、O₂B是两条异面直线，它们的公垂线段是O₁O₂.

　　为了求A、B间的球面距离，需先求A、B两点间的直线距离，也就是求异面直线上两点间的距离，

　　在OO₁A中，∠OAO₁=30°，∴O₁A=(√3R)/2，

　　在OO₂B中，∠OBO₂=60°，∴O₂B=R/2，

　　又O₁O₂=(1+√3)R/2，

　　注意到A、B两地的经度差为151°-31°=120°，即异面直线所成的角为120°，由异面直线上两点间的距离公式，得

　　AB^2=[(1+√3)R/2]^2+[(√3R)/2]^2+(R/2)^2-2×[(√3R)/2]×(R/2)×(-1/2)

　　　　　=(8+3√3)(R^2)/4，

　　∴cos∠AOB=[(R^2)+(R^2)- (8+3√3)(R^2)/4]/2R^2=(-3√3)/8，

　　∴∠AOB=π-arccos(3√3/8)，

　　∴A、B两点的球面距离这R[π-arccos(3√3/8)].