用构造法求范围的一例

大罕

      函数值域是指函数值的取值范围．针对不同的问题，求其取值范围有多种方法．其中有一类题目若用代数法推算，则过于冗繁，故不可取．但利用用几何意义，构造几何模型，问题则变得显然易知．这样的题型值得注意．

    【题目】求函数 y=√(x^2-6x+13)-√(x^2+4x+5) 的值域.

    【解】y=√[(x-3)^2+(0-2)^2]-√[(x+2)^2+(0-1)^2]，

      设P(x,0)，A(3,2)，B(-2,1)， 则原函数为y=|PA|-|PB|，

      设直线AB交x轴于点C，

      当P与C重合时，|PA|-|PB|=|AB|=√26，

      当P异于C时，在PAB中，||PA|-|PB||<|AB|=√26，

      ∴-√26<|PA|-|PB|<√26，

      综上，-√26<|PA|-|PB|≤√26，

      即原函数的值域为(-√26,√26].