哪一种理解是对的？

 大罕 

 【问题】若函数f(x)=√(ax^2+(2a-1)x+1)的定义域为[1,2]，求a的取值范围. 

 一种理解：不等式ax^2+(2a-1)x+1≥0解集为[1,2]. 

 另一种理解：不等式ax^2+(2a-1)x+1≥0在[1,2]上恒成立. 

 两种理解中哪一种对呢？ 

 【回复】 我们知道，函数的定义域如果是指定的，那么表明：此函数在指定的定义域内有定义；指定定义域是自然定义域的子集. 

 本题的题设中，函数y=√(ax^2+(2a-1)x+1)的指定定义域为[1,2]，就是说：函数f(x)在x∈[1,2]上是有定义的，也就是说：不等式ax^2+(2a-1)x+1≥0在[1,2]上是恒成立的(并非是指不等式ax^2+(2a-1)x+1≥0解集是[1,2]). 由此可见，我们取的是第二种理解. 

 接着往下解： 不等式ax^2+(2a-1)x+1≥0在[1,2]上恒成立；

 ⇔a≥(x-1)/(x^2+2x) 在[1,2]上恒成立；

 令H(x)= (x-1)/(x^2+2x)，

求导可知： H′(x)= (-x+2x+2)/(x^2+2x)^2>0在[1,2]上恒成立；

 ⇒ H(x)在[1,2]上单调递增， 

 ⇒ H(x)的最大值为H(2)=1/8， 

 ∴a≥1/8为所求范围. 

 这里求H(x)的最大值用到了求导的方法. 如果改用其它方法则比较麻烦. 

 有人举一反例：当a=2时，该函数的定义域就不是[1,2]. 

 实际上，当a=2时，函数f(x)=√(2x^2+3x+1)的自然定义域为(-∞,-1]∪[-1/2,+∞)， 而本题是指定的定义域是[1,2]，且[1,2] ⊆(-∞,-1]∪[-1/2,+∞). 即指定定义域是自然定义域的子集。说明是没有矛盾的. 

 关于定义域，有一诗顺口溜之： 

 指定就要算，不写归自然。 

 两款定义域，泾渭不容缠。