y=x和y=x(0≤x≤1)是两个相同的函数吗

大罕

      先看函数的概念。

      设A,B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都存在唯一的数f(x)与之对应，则称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记为y=f(x).

      由以上定义可知，函数f：A→B有三个部分，定义域A、值域B和对应关系f．

      对应关系又称为函数关系.

      由于值域可由定义域和函数关系所确定，因此我们在写函数时通常要把定义域写上．

      但是，在初中讲函数时一般没有注明定义域，那是默认定义域，也称为自然定义域，也就是使得函数解析式成立的自变量x的取值范围．

      以上问题中，函数y=x的定义域是默认的，自然定义域为R．

      我们在高中讲函数时，函数的定义域可以是指定的.也就是说，函数的定义域分为两种，一种是自然定义域，一种是指定定义域．例如函数y=x(0≤ x  ≤ 1)的定义域是指定的。

      换言之，函数不写定义域就是自然定义域，写了就是指定的定义域。指定定义域是自然定义域的子集。

      函数y=x和y=x(0≤ x ≤ 1)，虽然它们的函数关系式相同，但是定义域不同，所以它们不是同一函数。

      关于函数，初中、高中、大学(数学专业和非数学专业)对其定义有所不同，不同时期的定义也有不同。关于对应，我们认定是单值对应，也有定义允许多值对应。关于值域，我们认为是定义域和对应关系f所确定的，而不采用值域是集合B的子集。

      如果函数允许多值对应，那么麻烦来了，对于中学而言这些麻烦是不必要的。如果值域是集合B的子集，那么求值域的题目全都要砍去。为什么？集合B是值域的真母集呀。再说，求值域是很有训练价值的题型，砍掉了多可惜。