不等式恒成立与有解的处理

大罕

数学里的有些法则其实就是生活常识。例如，不等式恒成立或有解的问题，解决这一类问题就需要运用生活常识就可以了。

例如，m>f(x)恒成立⇔m>f(x)的最大值；

         m恒成立⇔m的最小值。

又如：m>f(x)有解⇔m>f(x)的最小值；

         m有解⇔m的最大值。

例1、已知关于x的不等式|x-2|-|x+3|≥a恒成立，求实数a的取值范围。

解： a≤|x-2|-|x+3|恒成立⇔a≤(|x-2|-|x+3|)的最小值。

 由图像法可知：(|x-2|-|x+3|)的最小值=-5,

  ∴a≤-5 .

例2、已知关于x的不等式|x-2|-|x+3|≥|m+1|有解，求实数m的取值范围。

解： |m+1|≤|x-2|-|x+3|有解⇔|m+1|≤(|x-2|-|x+3|)的最大值。

 由图像法可知：(|x-2|-|x+3|)的最大值=5,

    ∴|m+1|≤5，解得-6≤m≤4.

例3、已知关于x的不等式|x+2|+|x-1|Ф，求实数a的取值范围。

解：a>|x+2|+|x-1|的解集为Ф，⇔a≤|x+2|+|x-1|恒成立

 ⇔a≤(|x+2|+|x-1|)的最小值，

而(|x+2|+|x-1|)的最小值为3，

∴  a≤3.

为了便于使用，笔者编了口诀如下：

大大恒大，小小恒小；

大小可大，小大可小。