破解：抽象函数定义域问题

大罕

有两道关于抽象函数定义域的问题，困扰着一批批学生。一些教师也难以讲清楚。我将这一类问题写成本文时，也颇费思量，数易其稿。

已知f(x)定义域为D，求f[g(x)]的定义域；

已知f[g(x)]定义域为D，求f(x)的定义域。

破解这类问题，关键还是在于对题意的理解。

两题的共同之处在于定义域为D都是指自变量x的取值范围。不同之处在于问题是顶替的过程，问题是化归的过程。

先看问题，何谓“顶替”？由f(x)定义域为D，可知x∈D，而f[g(x)]中g(x)顶替了f(x)中x的位置，于是g(x)必须承担x的责任，因此有g(x)∈D。解这个不等式可得到此处x的范围M，即f[g(x)]的定义域为M。

例1、已知f(x)定义域为(-3,5]，求f(2x-1)的定义域。

解：f(x)定义域为(-3,5]，∴-3<<i style="mso-bidi-font-style:normal">x≤5,

把x换成2x-1，∴-3<2x-1≤5, 解得-1<2x≤3.

∴f(2x-1)的定义域为(-1,3].

先看问题，如何“化归”？由f(x)定义域为D，可知x∈D.

而在f[g(x)]中令u=g(x)，于是求f(x)的定义域就化归为求f(u)的定义域。而f(u)的定义域是指u的取值范围N，而x∈N可由x∈D“滚雪球”得到。所以f(x)的定义域为N.

例2、已知f(2x-1)定义域为(-3,5]，求f(x)的定义域。

解：f(2x-1)定义域为(-3,5]，∴-3<<i style="mso-bidi-font-style:normal">x≤5,

令u=2x-1，则f(x)的定义域即f(u)的定义域，

由-3<<i style="mso-bidi-font-style:normal">x≤5“滚雪球”得：-7<2x-1≤9.

∴f(u)定义域为(-7,9]，即f(x)的定义域为(-7,9].

下面我们再举一个既需要“顶替”，又需要“化归”的例子。

例3、若函数f(2^x)的定义域为[-1,1]，求f(log(2)x)的定义域。

解：f(2^x)的定义域为[-1,1]，∴-1≤x≤1，

令u=2^x，则f(u)的定义域是u的取值范围，

由-1≤x≤1“滚雪球”得：2^(-1)≤2^x≤2^1，即1/2≤u≤2，亦即f(u)的定义域为[1/2,2]，

在f(u)中把u换成log(2)x，因此有1/2≤log(2)x≤2，解得√2≤x≤4.

即f(log(2)x)的定义域为[√2,4].

总之，我们发现：

问题（类型）的特点是知简求繁，用的是“顶替”手法。这是一种顶替与担当。

问题（类型）的特点是知繁求简，用的是“化归”手法。运用换元，使得求f(x)定义域的问题化归为求f(u)的定义域的问题。这是一种化归与机智。

这正是：

抽象函数定义域， 繁简互求陷迷离。 

紧扣概念方向正， 顶替化归却顽疾。

2019/12/22