大罕 

【定理一】m×n格的矩形网格的内接四边形所覆盖的网格线中，水平线段的长度之和记作p，竖直线段的长度之和记作q，则p=q.

证明：m×n格的矩形网格的内接四边形所覆盖的网格线中，横线分别为p₁, p₂, …, p_m-1，竖线分别为q₁, q₂, …, q_n-1，设内接四边形的面积为S，则利用三角形面积公式和梯形面积公式，可得S= p₁+p₂+…+p_m-1=p，同理有S= q₁+q₂+…+q_n-1=q，所以p=q.

注：以上证明由周继光老师第一个给出。

【定理二】在m×n格的矩形网格ABCD中， A₁、B₁、C₁、D₁分别是边AB、BC、CD、DA上的格点，AA₁=i，B₁C=k，C₁D=j，D₁D=h，内接四边形A₁B₁C₁D₁的面积为S，则

S =(1/2) [mn-(i-j)(k-h)]

证明：格点矩形L：ABCD的长、宽分别为m、n，它的内接格点四边形为L₁：A₁B₁C₁D₁，

设S₁、S₂、S₃、S₄分别是△D₁AA₁、△A₁BB₁、△B₁CC₁、△C₁DD₁的面积

S_A1B1C1D1=S_ABCD-(S₁+S₂+S₃+S₄)

=AB×BC-(1/2) ( AA₁×AD₁+ A₁B×BB₁ +B₁C×CC₁ +C₁D×DD₁)

=mn-(1/2)[i(n-h)+(m-i)(n-k) +k(m-j)+jh]

=mn-(1/2)[mn+(i-j)(k-h)]

=(1/2) [mn-(i-j)(k-h)]

注：以上结果“揽数习文群”群友郑用珂也得到了。

【推论】在m×n格的矩形网格ABCD中， A₁、B₁、C₁、D₁分别是边AB、BC、CD、DA上的格点，AA₁=i，B₁C=k，C₁D=j，D₁D=h，内接四边形A₁B₁C₁D₁所覆盖的网格线的水平线段的长度之和为p，竖直线段的长度之和为q，则

P=q =(1/2) [mn- (i-j) (k-h)].

证明：由定理一和二立即可知。

以上围绕着矩形网格的内接四边形的面积展开了讨论，需要提及的是，一般地，关于格点多边形还有著名的毕克 (Pick) 定理，即：若格点多边形内部有N个格点，它的边界上有L个格点， 则它的面积S=N+(L/2)-1。用这个定理当然也可以计算本文涉及的格点四边形的面积。

2017-5-6