关于矩形网格的内接多边形面积的一般结论

大罕

     “关于m×n格的矩形网格的内接四边形的横(竖)线之和”给出了定理一和定理二，解决了矩形网格的内接四边形的横(竖)线长度之和与面积的关系。这里，我们将以述问题推广到内接n (n=3,4,5,6,7,8) 边形的情形.

【定理】在m×n格的矩形网格ABCD中， 格点A₁、A₂在边AB上，格点B₁、B₂在边BC上，格点C₁、C₂在边CD 上，格点D₁ 、D₂在边DA上的格点，AA₁=i，B₂C=k，C₂D=j，DD₁=h，且A₁A₂=a，B₁B₂=b，C₁C₂=c，D₁D₂=d，设内接八边形A₁A₂B₁B₂C₁C₂D₁D₂的面积为S，则

S=mn-(1/2)P,其中p=(m-a)(n-n)+(i-j)(k-h)+i(b-d)+k(a-c)         (※)

证明：如图，设S₁、S₂、S₃、S₄分别是△D₂AA₁、△A₂BB₁、△B₂CC₁、△C₂DD₁的面积，

S=S_ABCD-(S₁+S₂+S₃+S₄)

=mn-(1/2)(AA₁×AD₂+ A₂B×BB₁ +B₂C×CC₁ +C₂D×DD₁)

令p=AA₁×AD₂+ A₂B×BB₁ +B₂C×CC₁ +C₂D×DD₁，

则p= i(n-k-d)+(n-i-a)(n-k-b)+k(m-j-c)+jh

=(m-a)(n-b)+ (i-j)(k-h)+ i(b-d)+k(a-c)，

因此S = mn -(1/2)p，其中p=(i-j)(k-h)+(m-a)(n-b)+i(b-d)+k(a-c)

例如，如图矩形网格ABCD中，

m=13，n=8，

a=2，  b=1， c=7， d=2，

i=5， k=5，

j=2， h=2,

由公式(※)得：

p=(13-2)(8-1)+(5-2)(5-2)+5(1-2)+5(2-7)

 =77+9-5-25

=56

∴S =13×8 -(1/2)×56=104-28=76.

事实上，八边形内部的格点数N＝68，边界上的格点数L＝18，由毕克定理知，八边形A₁A₂B₁B₂C₁C₂D₁D₂的面积S=68+18/2-1=76.

以下说明上述定理是内接四边形定理的推广。

在公式(※)中，令a=b=c=d=0,则有 p=(i-j)(k-h)+mn，那么

S = mn -(1/2) [(i-j)(k-h)+mn]=(1/2) [mn-(i-j)(k-h)]，这就是内接四边形的情形。

并且，在公式(※)中令a、b、c、d的部分为零，得到的是网格矩形ABCD的内接5、6、7边形，从而说明我们得到的这个结果是对这一类问题的完善的结论。

2017-5-7