函数值非负在某区间上恒成立、有解与遍历

大罕

      数学术语是很讲究的，用词之精准令人赞叹。

      数学术语是很有趣的，生动和形象值得欣赏。

      恒成立、有解与遍历，三个既有联系又有区别的指令性术语，往往困绕着我们。

      下面有一套组题，围绕着函数值在某区间上恒成立、有解和遍历置问求解，堪称数学一隅的一组艳丽的姊妹花。

      ⑴已知函数f(x)=(x^2+2x+a)/x对任意x∈[1,+∞), f(x) ≥0恒成立，试求a的取值范围.

      ⑵已知函数f(x)=(x^2+2x+a)/x对任意x∈[1,+∞), f(x) 的值域是[0,+∞)，试求a的取值范围.

      ⑶已知函数f(x)=(x^2+2x+a)/x对任意x∈[1,+∞), f(x) ≥0恒有解，试求a的取值范围.

      数学语言与日常语言许多是相通的。恒成立，就是总是成立；有解，指哪怕有一个解也行；值域遍历某区间，指函数值可以取到该区间的一切值。

      请看我们是如何处理这些问题的，见图示。