两向量的数量积的归类

大罕

 

【问题】已知正四面体A₁A₂A₃A₄，点A₅、A₆、A₇、A₈、A₉、A₁₀分别是所在棱的中点，如图，则当1≤i≤10，1≤j≤10，且i≠j时，数量积A₁A₂·A_iA_j 的不同数值的个数为（）.

 

 【解析】注意到夹角1A₂,A_iA_j>的可能值为0°, 60°, 90°,120°, 180°，| A_iA_j |的可能值为1/2,1，

    所以，数量积

      A₁A₂·A_iA_j=|A₁A₂|·|A_iA_j|cos1A₂,A_iA_j>

                     =|A_iA_j|cos1A₂,A_iA_j>

                     =0,±1/2, ±1/4,±1, ±√3,

   只有以上9个不同的值。

 

   【评论】数学题有时就是这么牛逼。看似一团乱麻，细想只有90个数值。一个一个计算显然笨拙了，那么就归类。发现无非是9个不同的数值而已。当然，也可以将所有的点都投影到A1A2上考虑，只有9种情况，其余都重复了。这个方法更妙。