大罕

   史嘉问：做数列题时，只要有a(n-1)，S(n-1)就要求n≥2，请教：这仅仅是因为在高中没有a(0)，S(0)吗？为什么强调多遍不少学生还是忘记考虑首项呢？对此，您有何对策？谢谢！

   大罕回答，仅作参考，如下：

   我们是这样定义数列的：按一定次序排列的一列数称为数列。

   排在第一个位置的数称为第1项(也称为首项)，记为a(1)。

   数列还可以这样定义：数列是以正整数集（或它的有限子集{1,2,…,n}）为定义域的函数。

   根据定义，就有“在数列里没有a(0)”一说。

   其实这是一个误会。

   如果一个数a(0)排在数列的第1个位置，那么，对a(0)可以理直气壮地称之为首项(第一项)。例如，如下两个题目中就出现了a(0)：

   例1、已知数列{a(n)}满足a(0)＝1，a(n)= a(0) +a(1)+…+ a(n-1)，则当n≥1时，a(n)=(  ).

   A 2^n  B n(n+1)/2  C 2^(n-1)   D 2^n-1  

    例2、已知数列{a(n)}中，a(0)=2,a(1)=3,a(2)=6，且对于n≥3时，

有a(n)=(n+4)a(n-1)-4na(n-2)+(4n-8) a(n-3)，

    ⑴设数列{b(n)}满足b(n)=a(n)- na(n-1)，求证数列{b(n+1)-2b(n)}为等比数列，并求数列{b(n)}的通项公式；

    ⑵记n×(n-1) ×…×2×1=n!，求数列{na(n)}的前n项和S(n)

    因此，在数列中，是允许a(0)出现的。

   倘若有如下表述：数列{a(n)}(n∈N*)，这里面肯定没有a(0)。

   什么时候可以出现a(0)，什么时候不可以，这要看题目的需要，也就是群友changjiang3000(江春莲)所说的“出发点”。

   在数列中，S(0) 是绝对不可以出现的。这是因为，我们规定S(n)是从第1项依次加到第n项的。即S(n)= a(1) +a(2)+…+ a(n)。在某种情形下，比如需要求和：a(3) +a(4)+ a(5)+…+ a(n+2)，这个和式不能记为S(n)，改用其它字母即可。

   确实，学生在做数列题时总会忘记首项。这是人们专注“林”、忽视“木”的表现。须知，“林”是由“木”组成的。教学中，要让学生真正理解a(n)、S(n)的涵义。理顺则通达，通达则无误。随时提醒也是必须的。

                           2015.12.3