大罕

【@林世杰问】分母为2015的所有最简真分数的和是多少？有没有什么结论？ 

【大罕回答】

   先介绍Euler函数. 

   设正整数n的标准素分解式n=p1^α1×p2^α2×…×pk^αk，那么，所有小于n的正整数中与n互素的整数的个数叫Euler(欧拉)函数，记为φ(n)，且φ(n)=n(1-1/p1)(1-1/p2)……(1-1/pk).

   再给出如下

   定理：以正整数n为分母的最简真分数的和为(1/2)φ(n).

   证明：∵与n互素的整数有φ(n)个，其中φ(n)是Euler函数，

   又∵以n为分母的最简真分数是成对出现的，且每一对之和为1，

即若有一个真分数x/n，则必有另一个真分数(n-x)/n，且x/n +(n-x)/n =1，

   ∴分母为n的所有最简真分数的和为(1/2)φ(n).(证毕)

   当n＝2015时，2015=5×13×31，

   ∴φ(2015) = 2015(1-1/5)(1-1/13)(1-1/31)=1440.

   ∴分母为2015的所有最简真分数的和是720.