高考题小议：你中有我、我中有你的分段数列
大罕
有一道数列题如下：
数列｛an｝首项a1=a≠1/4,且当n为偶数时，an+1＝(1/2)an
，当n为奇数时，an+1＝an+(1/4)，记bn＝a2n-1-(1/4)，
⑴求a2，a3；
⑵判断数列｛bn｝是否为等比数列,并证明你的结论；
⑶求lim(b1+b2+…+bn)
解：⑴a2=a1+1/4=a+1/4，a3=(1/2)a2=(1/2)a+1/8
⑵∵bn+1=a2n+1-1/4
= (1/2)a2n-1/4
=(1/2) [
(a2n-1+(1/4)]-(1/4)
=(1/2)a2n-1+(1/8)-(1/4)
)
=(1/2)a2n-1-(1/8)
=(1/2)[a2n-1-(1/4)],
而bn＝a2n-1-(1/4)，
∴ bn+1/bn=1/2
∴ 数列｛bn｝是等比数列.
⑶ 等比数列｛bn｝中，b1= a1-(1/4) =
a-(1/4)，公比为(1/2)，
∴lim(b1+b2+…+bn)=[a-(1/4)]/[1-(1/2)]
=2a-1/2.
本道的分段数列，你中有我、我中有你，其妙在此，其难也在此。
众所周知，函数、数列、解析几何是高中数学的三个制高点。高考题常用这一部分，巧思妙构，出奇制胜。
2015年高考数学题已经出笼。其难度大大超过预期。以上海高考题为例，压轴题第24题、25题，学生叫苦不迭，声称“连题目都看不懂”。
学生要想达到压轴题的水平，平时要作相当的训练。可谓“冰冻三尺，非一日之寒”。
本文的数列题，不过是教师在训练学生的过程中撷下的一朵浪花。
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