评析2015年上海高考第22题
——高考压轴题，压在何处？
大罕
高考压轴题压在何处？或者说难在何处？一是难在抽象的表达，二是难在知识与方法的综合。隐晦的含义，交织的知识，灵活的方法，毕大成于一题，这，就是压轴题。
2015年上海高考数学理科第22题是一道压轴题。它把两个数列{an}与{bn}融合在一起，用递推形式来表达；要求抽象地证明：两个数列在某同一项取得最大值；继而提出问题：
若一个数列为等比数列，求另一个数列的最大值与最小值之比在某一指定区间内时，等比数列的参数的取值范围。
呵呵，听起来就头疼，不过这就是压轴题。
题目：已知数列{an}与{bn}满足a(n+1)-a(n)=2[b(n+1)-b(n)]，n∈N*，
⑴若b(n)=3n+5，且a1=1，求数列{an}的通项公式；
⑵设{an}的第n0项是最大项，即a(n0)
≥a(n)，求证：数列{bn}的第n0项是最大项；
⑶设a1=λ<0，b(n)=λ^n
(n∈N*)，求λ的取值范围，使得{an}有最大值M与最小值m，且M/m∈(-2,2).
评析与解答：
第⑴题，按惯例，这一小题属送分的。因为{bn}是等差数列，首项、公差不难得到，那么数列{an}的首项、公差也得到了，通项公式唾手可得。
不过，此题的意义还在于，让学生熟悉“情景”，进入“角色”，再往下解题。
∵b(n)=3n+5，∴
b(n+1)-b(n)=[3(n+1)+5]-(3n+5)=3，
∴a(n+1)-a(n)=2[b(n+1)-b(n)]=2×3=6，
∴数列{an}是等差数列，且首项a1=1，公差为6，∴a(n)＝1+6(n-1)=6n-5.
第⑵题，如果题目直接说：求an与bn的关系，那么方向就指出了。可是，题目偏偏不说，要你辨识方向。再者，即使看准了方向，如何实现，即路径是什么？也需要解题人寻找！
这里用到了一个技巧：x=x+0+0+…+0(有限个零)。如果平时没受到训练，这个技巧无论如何是想不到的哟！
∵a(n)=[a(n)-a(n-1)]+[a(n-1)-a(n-2)]+…+ (a2-a1)
+a1=2[b(n)-b(n-1)]+ 2 [b(n-1)-b(n-2)]+…+2 (b2-b1) +a1=2
b(n)-2b1+a1，
∴b(n)=(1/2)[a(n)+2b1-a1]，
至此，
bn与an的关系明朗了，下面就利用an的最值论证bn的最值，抽象形式下运用不等式性质，即可。
注意到a(n0)
≥a(n)，
∴b(n0)=(1/2)[a(n0)+2b1-a1]
≥(1/2)[a(n)+2b1-a1]＝b(n)，即{bn}的最大项是第n0项
第⑶题，满足关系：a(n+1)-a(n)=2[b(n+1)-b(n)]的数列{an}与{bn}，可以是等差数列，例如第⑴题，也可以是别的数列，例如本题的等比数列。那么，如何在给定一个数列的通项公式后确定另一数列的通项公式，无疑与第⑵题相关。
由b(n)=λ^n得b1=λ，由⑵知，a(n)=2
b(n)-2b1+a1=2λ^n-λ.
至此，数列a(n)=2λ^n-λ的通项公式找到了。可是，要确定该数列的最大值和最小值，应该从单调性入手.
于是，任取1≤n1
由此，a(n)=2λ^n-λ(λ<0)的最值情况，需再加讨论。注意到λ<0和上式，因此λ的范围以1为界，并且n有奇偶性的鉴别。这一鉴别，如暗流汹涌，让人措手不及！
①当-1<λ<0时, a(2n)=2λ^
(2n)-λ单调递减，最大值M=a2=2λ^2-λ；
a(2n-1)=2λ^(2n-1)-λ单调递增，最小值m=a1=λ；
此时，M/m=2λ-1∈(-2,2)，解得λ∈(-1/2,3/2)，但-1<λ<0，所以λ∈(-1/2,0).
②当λ＝-1<0时,
a(2n)=3，a(2n-1)=1，M/m=3不属于(-2,2)，故舍去.
③当λ<-1时,若n→+∞,则a(2n)→+∞,无最大值；若n→+∞,则a(2n-1)→-∞,无最小值.
综上，λ∈(-1/2,0)为所求.
高考压轴题是一只猛兽，吓倒了一大批在题苑里散步和慢跑的学子。
高考压轴题是一朵奇葩，迷到了一大批在学业中奋斗和拼命的才子。
有高考，就有压轴。有压轴，才能区分。所以，我们要平实地对待压轴题。量力而为，尽力而为。
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