也谈正方形几何题

大罕

     问题：向△ABC外作正方形ABDE、BCFG、CAHI，点J、K、L分别DG、FI、FG的中点，求证：AL=JK，AL⊥JK.(武汉王方汉，2014-5-5)

     略证：作BDJM是平行四边形，易知AC=2BJ，AC⊥BJ，

     作CBMN是平行四边形，易知A、C、N共线，连接KN、MN，

     ∴△KCN∽△DBGI，且相似比为1∶2，

     ∴KN∥BG，MN∥NC，BC=2KN，

     设P是BC中点，则△KMN≌△BLP，∴MK=BL，

     在△ABL和△JMK中，

     ∵AB⊥JM，BL⊥MK，∴∠ABL=∠JMK，

     又AB=BD=JM，∴△ABL≌△JMK，可知AL=JK，AL⊥JK.

     评论：本题由文武光华的潘成华老师提出.上述证法本质上讲与潘成华证法是一样的.不过，本证法优点在于可以揭示图形中许多内在的几何性质，例如QJMK是平行四边形(点Q是△ABC的垂心)、BJGM是矩形，等.(附注：本题字母按英文次序给出，摒弃了“偏辟”字母的写法.)