上海市闸北区2014年中考二模压轴题讲评

大罕

    第25题：已知：如图①，△ABC中，AB=AC=6，BC=4，点D在BC的延长线上，联结AD，以AD为一边作△ADE，使点E与点B位于直线AD的两侧，且AD=AE，∠DAE=∠BAC.

    ⑴如果AE//BC，请判断四边形ABDE的形状并证明；

    ⑵如图②，设M是BC中点，N是DE中点，联结AM、AN 、MN，求证：△ABD∽△AMN；

    ⑶设BD=x，在⑵的前提下，以BC为直径的⊙M与以DE为直径的⊙N存在着哪些位置关系？并求出相应的x的取值范围（直接写出结论）．

    解：⑴四边形ABDE是平行四边形，理由如下：如图，

    ∵ ∠BAC=∠DAE，AB=AC，AD=AE

    ∴ △ABC∽△ADE，∴ ∠E=∠ACB=∠B，

    ∵ AE//BC，∴ ∠EAB+∠E=∠EAB+∠B=180º

    ∴ AB//ED，∴ 四边形ABDE是平行四边形

    ⑵证明：∵ AB=AC，M是BC中点，∴ AM⊥BC，AM平分∠BAC，同理AN平分∠DAE，

     ∵∠MAN=∠MAC+∠CAD+∠DAN，

     且∠BAD=∠BAM+∠ MAC+∠CAD，

     ∴∠MAN=∠BAD，

     又∵△ABC∽△ADE，∴AB/AD=AM/AN，

     在△ABD和△AMN中,AB/AM=AD/AN，

     且∠MAN=∠BAD，∴△ABD∽△AMN．

    讲评：第⑴⑵题的难度适中，主要考查相似三角形的判定和性质定理。

     ⑶先考察⊙M与⊙N相外切的情形：

     由⑵△ABD∽△AMN知，MN/BD=AM/AB,  ∴MN=AM•BD/AB=2√2x/3

     由△AND∽△AMB知，ND/BM=AD/AB,  ∴ND=BM•AD/AB=√(x^2-4x+36)/3，

     ∵⊙M与⊙N相外切，∴MN=ND+MC，

     即 2√2x/3=2+√(x^2-4x+36)/3，解这个方程得：x=(24√2-4)x/7，

     答：当4≤x<(24√2-4)x/7 时，⊙M与⊙N相交；当x=(24√2-4)x/7时，⊙M与⊙N相外切；当x>(24√2-4)x/7时，⊙M与⊙N相离.

    讲评：第⑶题比较难。
     两圆外切则圆心距等于两圆半径之和，难在计算圆心距和⊙N的半径ND。通过两组相似三角形加以计算，得到关于BD=x的方程，从而计算出来。
     原题只要求直接写出结果，不需要过程。可是，没有过程怎么可能写出结果？最后一题的最后一问，这样安排，无疑是考察尖子生的能力！