含36°的等腰三角形与黄金分割

——兼答学生提问

王方汉

    线段上一点将线段分割成长短不一的两段，我们称分别称为长段、短段，称原线段为原段。如果长段与原段的长度之比等于短段与长段之比（可记为：长原短长），那么这样的分割称为黄金分割，这个点称为黄金分割点。长段与原段之比值称为黄金比。下面我们来计算黄金比。

    如图1，线段AB上有黄金分点C，设AB=1，AC=x，则CB=1-x，
    就有AC∶AB=CB∶AC，即x∶1=(1-x)∶x，

    ∴x²+x-1=0

    解得x=(-1+√5)/2≈0.618，

    所以黄金比为(-1+√5)/2≈0.618

    含36°的等腰三角形与黄金分割有什么关系呢？

    如图2，等腰△ABC的顶角A=36°，点D在AB上，若CD平分∠ACB，则BC=CD且 △CDB∽△ABC，

    ∴BC∶AC=DB∶BC，

    但BC=CD=AD，AC=AB，于是上式可化为

     AD∶AB=DB∶AD，

    这表明点D是线段AB的黄金分割点。

    我们把含36°的等腰三角形称为黄金三角形，那么就有如下结论：

    黄金三角形腰上的黄金分割点与两底角顶点可构成一个新的黄金三角形。

    下面回答初三冲刺中考学生的一个问题，此题系上海市闸北区2014年中考二模的第18题：

    如图3，等腰△ABC的顶角A＝36°，点D是腰AB的黄金分割点（AD>BD），将△BCD绕着点C按顺时针方向旋转一个角度后点D落在E处，连接AE，当AE∥CD时，这个旋转角是          。

    分析如下：等腰△ABC顶角A＝36°，这是黄金三角形；点D是腰AB的黄金分割点，

    ∴△DBC也是黄金三角形，

    ∴∠ACD=∠DCB=36°，

    当AE∥CD时，∠EAC=∠ACD=36°，

    ∴AC平分∠EAB，

    此时若四边形ADCE为菱形，则相当于“将△BCD绕着点C按顺时针方向旋转一个角度后点D落在E处（即将CD旋转到CE处）”，

    ∴∠DCE₁=72°，此为一解；

    这时∠AE₁C=108°，它的邻补角∠CE₁E=72°，

    于是在AE上再取一点E₂，使∠CE₁E₂=72°，

    则CE₁=CE₂=CD，∴∠DCE₂=108°，此为另一解。

    综上，这个旋转角为72°或108°。

    中国国旗有正五角星图案。

    正五角星是美丽的几何图形。如图4，正5边星形围成一个正五角星。正5边星形的边与边的交点均为所在边的黄金分割点。

    黄金，一直被人们视为珍贵物品。几何中由黄金分割点组成的几何图形，匀称、协调、舒适，给人以美的享受。“黄金分割”冠以“黄金”二字，应理解为“最优美的”、“最完美的”意思。