大胆用“同理”

大罕

    初中平面几何中，有一类需要讨论的问题：①点E在线段BC上，②点E在线段BC的延长线上，③点E在线段CB的延长线上.

    不少学生对这类问题感到十分棘手，甚至一筹莫展。

    其实解决这类问题有一个既普通又神奇的武器：同理法。

    什么叫“同理”？同理就是相同的道理嘛。不过，这里的同理，不仅道理相同，而且连不同情况下所用的字母也相同，真是同理得完全彻底了。

    请看一个例题：

    在正方形ABCD中，点E在直线BC上，连接AE，过点E作EF⊥AE，交正方形ABCD外角平分线所在直线于F，

    ⑴如图，当点E在线段BC上时，求BD、CE、CF之间的数量关系；

    ⑵如图，当点E在线段BC的延长线上时，求BD、CE、CF之间的数量关系；

    ⑶如图，当点E在线段BC的延长线上时，求BD、CE、CF之间的数量关系.

    评析：本题的难点在于第⑴小题，更难在我们要猜测出BD、CE、CF之间的数量关系.
    ⑴当点E在线段BC上时，抓住“EC是BC的一部分”这一条件，截短它，在AB上取点M，使BM=BE，连接ME，观察，发现应该有△AME≌t△ECF，如图1，
    ∴ME=CF，
    这样CF也有了，事情就好办了.
    注意到Rt△ABC是等腰直角三角形，作EN∥AB，可得到□AMEN，岂不有ME=AN？
    豁然开朗：AC=AN+NC=FC+√2 EC.
    ⑵当点E在线段BC的延长线上时，同理，按⑴的做法，在BA的延长线上取点M（字母一样啊），使BM=BE，连接ME，观察，发现应该有△AME≌t△ECF，如图2（与⑴完全一样啊），
     ∴ME=CF，
    注意到Rt△ABC是等腰直角三角形，EN∥AB，可得到□AMEN，所以ME=AN，于是
     BD=AC=ME-EN=FC-√2EC.
    ⑶当点E在线段CB的延长线上时，同理，按⑴的做法，在AB的延长线上取点M（字母一样），使BM=BE，连接ME，则有△AME≌t△ECF，如图3（与⑴完全一样），
    ∴ME=CF，
    注意到Rt△ABC是等腰直角三角形，作EN平行于AB交CA的延长线于点N,，可得到□AMEN，所以ME=AN，于是
     BD=AC=√2CE－CF .
    从这个例子我们看出，当我们把需要讨论的一种情形探索清楚后，同理，只须略加改动，连字母都不要换，“原封不动”地可以完成其它情形的讨论.

   下面我们再看一个例子.

   已知Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，D为AB边的中点，∠EDF=90°，∠EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F．
   ⑴当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC于E且E点在线段AC上时，求证：△DEF面积与△CEF面积之和等于△ABC面积的一半；
   ⑵当∠EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直且E点在线段AC上时，上述结论是否成立？说明理由；
   ⑶当∠EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直且E点在线段AC的延长线上时，上述结论是否成立？说明理由.

   提示：当你完成第⑴小题后，可以大胆地同理处理.

   不信试试看！