详解一道关于一次函数的难题

大罕

   如图1，在平面直角坐标中，直角梯形OABC的顶点A的坐标为（4，0），直线y=-(1/4)x+3经过顶点B，与y轴交于顶点C，AB∥OC，

   ⑴求顶点B的坐标；

   ⑵如图2，直线l经过点C，与直线AB交于点M，点O´为点O关于直线l的对称点，连接CO´，并延长交直线AB于第一象限的点D，当CD=5时，求直线l的解析式；

   ⑶在（2）的条件下，点P在直线l上运动，点Q在直线OD上运动，以P、Q、B、C为顶点的四边形能否成为平行四边形？若能，求出点P的坐标；若不能，说明理由．

   解：⑴点B的坐标为（4，y），把x=4代入y=-(1/4)x+3, 中得y=2，得B(4,2)；

    ⑵∵AB∥OC，∴∠OCM=∠DMC，由题意∠DCM=∠OCM，（简评：“点O´为点O关于直线l 的对称点，连接CO´，并延长交直线AB”这一段文字原来是想说CM平分∠OCD.）

   ∴∠DCM=∠DMC, ∴CD=MD=5，（简评：成功的关键.）

    设D(4,n)，由CD=5及两点距离公式可求得n=6，即D(4,6)，于是AM=6-5=1，所以M（4，1），

    设l解析式y=kx+b把（0，3）（4，1）代入，解得k=-1/2,，b=3, 因此有y=-(1/2)x+3；

    ⑶过C点作CN⊥AB于N，∵AD=6，BC为一边∴D（4，6）,

    ∴OD的解析式为y=(3/2) x,

 符合要求的平行四边形有三种情况：

 ①当PC是平行四边形的一条对角线时，如图.

 过P作AD的垂线，垂足为H，过点Q作x轴、y轴的平行线QU、QV，

    由PQCB是平行四边形易知：△CVQ≌△BUP，

   设P（x，-(1/2)x+3） , 则PU=QV=x-4，

   进而y_Q=3-CU=3-BH=3-(2-y_H)=1+y_P=1-(1/2)x+3=4-(1/2)x,

      ∴Q（x-4， 4-(1/2)x）,代入y=(3/2)x中，得：x=5，
   ∴P₁（5，1/2），

   ② 当PC是平行四边形PCBQ的一条边时，如图.

     同理P₂（－2，4），

   ③ 当BC是平行四边形PBQC的一条对角线时，如图.

   设P（a，-（1/2）a+3）、Q（b，(3/2)b）,

    ∵a+b=4,   且-(1/2)a+3+(3/2)b=5,，解方程组得，a=2,b=2,

    ∴P₃（2，2）．