用向量表示三角形的四“心”

大罕

   三角形的四“心”指重心、垂心、内心和外心。向量作为一个有力的工具，它可以轻松地表达三角形的四“心”。这里不打算作过多的涉猎，只将与高中数学教学密切相关的内容，归纳如下：
一、重心
   三角形的重心是三条中线的交点.

   定理1：设G是△ABC内一点，若向量GA+GB+GC=0，则G是△ABC的重心．如图1.

   【证明】：如图，向量GB+GC=GE，连结BE和CE， 则由BGCE为平行四边形 D是BC的中点，AD为BC边上的中线.

将GB+GC=OE代入GA+GB+GC=0得GE+GA=0，知GA=－GE＝－2OD，所以G点是△ABC的重心.

二、垂心

   定理2：设H是△ABC所在平面上一点，若向量HA·HB=HB·HC=HC·HA，则H是△ABC的垂心．

   【证明】：由HA·HB=HB·HC，得HB·(HA-HC)=0，即HB·CA=0，，所以HB⊥CA，同理可证HC⊥AB,HA⊥BC，∴H是△ABC的垂心．

三、内心

   三角形的内心是三个内角的平分线的交点.

   定理3：设I是△ABC所在平面上的一点，且AB=c,BC=a,CA=b,若a•IA+ b•IB+c•IC=0 (IA,IB,IC均为向量)，则I是△ABC的内心．

   【证明】  ∵向量IB=IA+AB,向量IC=IA+AC，

    ∴a•IA+ b•IB+c•IC=0即 a•IA+ b(IA+AB) +c(IA+AC)=(a+b+c)IA+ b•AB+c•AC=0,

    而 b•AB+c•AC＝|AC|•AB+ |AB |•AC=|AC|•|AB|(AB/|AB|+AC/|AC|)＝bc(AB/|AB|+AC/|AC|),

   ∴(a+b+c)IA+ bc(AB/|AB|+AC/|AC|)=0,

   由此可知,向量AI＝[bc/(a+b+c)](AB/|AB|+AC/|AC|).

   ∵AB/|AB|和AC/|AC|分别为向量AB和AC方向上的单位向量，

   ∴向量AI与∠BAC平分线共线，即AI平分∠BAC．

   同理可证：BI平分∠ABC，CI平分∠ACB，从而I是△ABC的内心.

四、外心

   三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点.

   定理4：已知O是△ABC所在平面上一点，若OA²=OB²=OC² (OA,OB,OC均为向量)，则O是△ABC的外心

   【证明】由OA²=OB²=OC² 知|OA|²=|OB|²=|OC|² ，所以|OA|=|OB|=|OC| ，从而O是△ABC的外心.