四顾两茫茫，拔剑向何方

大罕

    有的数学题，一时不知从何处下手，颇有“回顾两茫茫，拔剑向何方”的苍凉之感。下面一题的第⑵小题就是：

    问题：已知点 M（－2，0），N（2，0），动点 P满足条件|PM |－|PN |=2√2，记动点 P的轨迹为Γ，

      ⑴求Γ 的方程；

      ⑵若 A，B 是C上的不同两点，O 是坐标原点，求向量OA·OB的最小值．

    评析：

    ⑴比较简单．根据双曲线的定义知，C的轨迹是双曲线的右支，方程为x²-y²=2 ( x≥√2)

    ⑵中，A，B 是Γ上不同的两点，而且是任意的两点，杂乱无章，这就棘手了！从何处下手呢？

    试试吧，先设其坐标： A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂) ,

    再怎么办？

    方案一：假定A点是双曲线的右顶点，因为两点不能重合，所以B点是任意的．既是任意，向量OA·OB的最小值就不便确定．

    方案二：连接AB，当 AB⊥x轴时, x₁＝x₂，y₁＝－y₂，那么

    向量OA·OB＝x₁x₂+y₁y₂＝x₁²－y₁²＝2，这是具体的数值．
    当AB与x轴不垂直时, 要计算向量OA·OB＝x₁x₂+y₁y，必须动用解联立方程组的手段了，成功在此一举！

    可是直线AB的方程中有两个参变量，行不行啊？华山一条路，只能冒险走一遭了！于是：

    设直线AB的方程为y=kx+m，与C的方程联立，消去y，得
     (1－k²)x²－2kmx－m²－2=0，

    ∴x₁+x₂＝－2km/(k²－1) ，x₁x₂＝(m²+2)/(k²-1)，

    ∴向量OA·OB＝x₁x₂+y₁y₂＝x₁x₂+ (kx₁+m) (kx₁+m)＝(2k²+2)/(k²-1)=2+4/(k²-1)

    注意到A,B两点都在双曲线右支上，所以x₁x₂₂＝(m²+2)/(k²-1)>0，故(k²-1)>0，

    ∴向量OA·OB>2.

    成功了！综上可知，向量OA·OB的最小值为2（当AB⊥x轴时取得）．
    数学也是实验的科学．解数学题时，当束手无策时，当前程渺茫时，就要大但猜想和尝试．胜利往往来自坚持的努力之中．

戏东方