两道精致的解析几何选择题

大罕

    1．已知抛物线y²=8x上一点Ｍ,Ｍ点的纵坐标为m(m>0)，它到抛物线焦点F的距离为5/2，双曲线x²/a-y²=1 的左顶点为A，若双曲线一条渐近线与直线AM平行，则实数m 等于（   ）．

      A 1/36　　         B 1/9             C 1/3　       　     D1/2

   评析：如图，抛物线y²=8x的焦点F(2,0)，由M(m²/8,m)(m>0) 及|ＭF|=5/2 ,可知m=2, 即Ｍ(1/2,2)，又A(√a,0)，故k_MF=2/(1/2-√a)，

   双曲线一条渐近线方程为y=(1/√a)x，因为直线AM平行于此渐近线，

所以2/(1/2-√a)＝1/√a，解得a=1/36，故选A.

   本题亮点不在于它的难度，而在于它的设计：把抛物线和双曲线自然地揉合在一起，考查学生的基本知识和基本能力.

   2.已知抛物线y²=2px(p>0)与双曲线x²/a²-y²/b²=1 (a>0,b>0)有相同的焦点F，点A是两曲线的一个交点，且AF⊥x轴，若l为双曲线的一条渐近线，则l的倾斜角所在的区间可能是（  ）．

     A(0, π/4)        B(π/6,π/4)       C(π/4, π/3)       D(π/3, π/2)

   ∵抛物线y²=2px(p>0) 的焦点为(p/2,0)，双曲线x²/a²-y²/b²=1 (a>0,b>0)的焦点F(c,0)，两者的焦点重合，

   ∴ p/2 =c, 即    p²=4(a²+b²)，                   ①

   ∵点A (p/2,y_A)在抛物线y²=2px上，∴y_A＝p，

   又∵点A (c,y_A) 双曲线x²/a²-y²/b²=1上，∴y_A＝b²/a,

   于是有   p＝b²/a，                               ②

   由①②得4(a²+b²)＝b⁴/a²，整理得b⁴－4a²b²－4a²＝0，

    (b/a)⁴-4(b/a)²-4=0

   解得b/a＝√(2+√2) ∈(√3,2),

   而渐近线l的斜率正是b/a，所以其倾斜角所在的区间可以是(π/3, π/2)，即本题选D.

   本题的抛物线与双曲线有共同的焦点和半通径，将它们融为一题，施以抽象字母运算，考查学生的基本知识和基本技能.