再谈“点差法”

大罕

    圆锥曲线上的两点构成一条弦.设这两点坐标为(x₁,y₁),和(x₂,y₂)，另设弦的中点坐标为(x₀,y₀)，由于点的坐标满足圆锥曲线方程，从而可得到两个关于x₁,y₁,x₂,y₂的方程，将两个方程相减，就能得出过此两点的直线的斜率与弦的中点坐标之间的一个等式.有了这个等式，就能顺利地解决有关弦的中点的问题.这个方法叫点差法.

    点差法是一种特法，适时运用可出奇制胜.因其局限性，亦不可滥用.

    下面的例子颇有典型性.

    问题：已知椭圆的一个顶点为A(0，－1),焦点在x轴上，且右焦点到直线x－y＋2√2＝0的距离为3，

    ⑴求椭圆的方程；

    ⑵试问能否找到一条斜率为k（k≠0）的直线l，使l与已知椭圆交于不同的两点M、N,且满足|AM|＝|AN|，并说明理由．

    解：⑴易知椭圆方程：x²/3+y²=1

    ⑵设B为MN的中点，B(x₀,y₀), 又M(x₁,y₁), N(x₂,y₂),

    ∵M,N两点在椭圆x²+3y²=3上

    ∴  x₁²+3y₁²=3              ①

        x₂²+3y₂²=3              ②

    ①-②得

      x₁²- x₂²＝－3(y₁² -y₂²),

    即 (y₁-y₂)/ (x₁- x₂₎=- (x₁+ x₂ ) /3(y₁+y₂)      

    ∴ k=- x₀/ 3y₀,　　　　　　③

    ∵ |AM|＝|AN|,

    ∴  AB⊥MN,

    因此有　(y₀+1)/x₀=-1/k　　 ④

    ∴ 由③④得　　x₀＝－3k/2, y₀=1/2,

    又∵点B(x₀,y₀)在椭圆x²+3y²=3内部，

    ∴(－3k/2)²+3(1/2)²<3,

    ∴k²<1,

    ∴k∈(-∞,-1)∪(1,+∞)，

    于是可找到斜率为k（k≠0）的直线l符合题设要求，且k的取值范围是(-∞,-1)∪(1,+∞).

    链接：什么是点差法？/大罕  http://blog.sina.com.cn/s/blog_4aeef05d0100pt64.html