穿云破雾，天堑变通途

——2005年上海高考数学第22题鉴赏

大罕

    以下是上海市2005年高考数学压轴题（第22题）：

    在直角坐标平面中，已知点P₁(1,2), P₂(2,2²), P₃(3,2³), …, P_n(n,2ⁿ),P₁(1,2),其中是正整数，对平面上任一点A₀，记A₁为A₀关于点P₁的对称点，A₂为A₁关于点P₂的对称点，．．．，A_n为A_n-1关于点P_n的对称点.

    ⑴求向量A₀ A₂的坐标；

    ⑵当点A₀在曲线C上移动时，点A₂的轨迹是函数y=f(x)的图像，其中f(x)是以3为周期的周期函数，且当x ∈(0,3]时，f(x)=lgx，求以曲线C为图像的函数在(1,4]上的解析式；

    ⑶对任意偶数n，用n表示向量A₀ A_n的坐标.

    解：⑴设点A₀(x,y)，则A₀关于点P₁的对称点A₁的坐标为A₁(2-x,4-y)，于是A₁关于点P₂的对称点A₂的坐标为A₂(2+x,4+y)，所以向量A₀ A₂＝(2,4).

    鉴赏：本小题的疑点是A₀为平面内任一点.不必犹豫，设其任意坐标(x,y)就行了，原来，经过点对称的“折腾”后，向量A₀A₂的坐标其实与点A₀的位置无关！设坐标为(x,y)不过是虚晃一枪而已.

    ⑵由向量A₀A₂＝(2,4)知，向量A₂A₀＝(－2,－4)，

     又因为点A₂在曲线y=f(x)上，点A₀在曲线C上，因此，将曲线.y=f(x)向左平移2个单位，向下平移4个单位，就可以得到曲线C.（参见图1）

     欲求曲线C 在区间(1,4]上的解析式，先求曲线y=f(x)在区间(3,6]上的解析式y=g(x)：

     已知当x ∈(0,3]时，f(x)=lgx，由f(x)的周期为3知，故当x ∈(3,6]时，f(x)=f(x-3)=lg(x-3)，

    ∴y=g(x)=lg(x-3)，

     下面将曲线y=g(x) =lg(x-3)按向量(－2,－4)平移，得到

     y=lg[(x－3)+2]－4＝lg(x－1)－4，即为所求.

    鉴赏：本小题主要涉及按向量平移图像.向量由第（1）问给出，是其逆向量.难点在于被平移图像所对应的函数是分段形式的，而需要平移的并非题目给出的那段，还须求出真正需要平移的这段.弯弯绕啊！谁要考查能力呀！

    ⑶ ∵A_2k为A_2k-1关于点P_2k的对称点,

     ∴P_2k是线段A_2kA_2k-1的中点，（参见图2）

     在△A_2k-2 A_2k-1 A_2k中，P_2k－1P_2k是边A_2k－2A_2k所对的中位线，

     ∴ 向量A_2k－2A_2k＝2向量P_2k－1P_2k，

     并注意到向量P_k－1P_k=(n,2^k) -(n-1,2^k-1)=(1,2^k-1) ，
     于是，向量A₀A_n=向量A₀A_2k=向量A₀A₂ +向量 A₂A₄ +… +向量A_2k-2A_2k

                    =2(向量P₁P₂+ 向量P₃P₄+… +向量P_n-1P_n)

                    =2[(1,2)+ (1,2³)+ (1,2⁵)+…+ (1,2^n-1)]

                    =2(n/2,2(2ⁿ-1)/3)

                    =(n,4(2ⁿ-1)/3).

     鉴赏：按常规，把向量拆开应遵循依次衔接的原则，即向量A₀A_n=向量A₀A₁+向量A₁A₂+… +向量A_n-1A_n.，但这样处理与条件“A_k为A_k-1关于点P_k的对称点”偏离,必导致失败.

     纵观全题，第(1)(2)问环环相扣，一气呵成，第(3)问如奇峰突兀，考验解题者的胆识、机敏和睿智.这一设计，堪称妙笔生花.

     第(3)问条件“n为偶数”，也不可小觑，否则就需要讨论，增加了难度.

     当n为奇数时咋办？向量A₀A_n=向量A₀A₂+向量 A₂A₄+… +向量A_n-3A_n-1+向量A_n-1A_kn，由此仍可得到一个结果.详情不叙.