分散难点，循序渐进，提高学生解题能力

大罕

    培养学生的解题能力，简单粗暴的方法就是把他扔进题海，多呛几口水，慢慢学会游泳。经验丰富的老师会有一套训练方法，让学生在渐进式的练习中，逐步领悟，增长才干。此为“好雨知时节，当春乃发生，随风潜入夜，润物细无声。”

    下面一道解析几何题，如何直接端出例2的形式，无坐标系，定比为抽象字母λ，点的坐标代入方程后运算繁难，多重关卡，难度颇大！但我们的目标既定，为达此目的，不妨删枝削叶，予以简化。于是，改为例1的模样：定比改为具体的数值，难点集中在如何建立直角坐标系，如何利用条件“双曲线过C、D、E三点”.

    例1 如图，已知在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，|AB|=2|CD|，点E分有向线段AC所成的比为8/11，双曲线以A、B为焦点，且过C、D、E三点，求双曲线离心率e的取值范围．

    解析：如图所示，以线段AB的中垂线为y轴，以直线AB为x轴，建立直角坐标系，则CD⊥y轴.

   　∵ 点C、D在双曲线上，且A、B为双曲线的焦点，

　 　∴ C、D关于y轴对称.

　　依题意，记A（－c，0），B（c，0）.

　　∵|AB|=2|CD|，∴ 记C(c/2，n)

　　其中c为双曲线的半焦距，c=(1/2)|AB|，n是梯形的高.

    ∵ 点E分有向线段的AC所成的比为8/11,

    ∴由定比分点坐标公式，可得

　   x_E＝(-7/19)c，y_E＝(8/19)c，

　　设双曲线的方程为x²/a²-y²/b²=1，则离心率e=c/a．

    由点C、E在双曲线上，得

     c²/4a²- n²/b²=1                   ①

     49c²/361a²-64 n²/361b²=1          ②

     由①得，n²/b² ＝c²/4a²－1，

    代入②，整理得c²/a²＝9，

    ∴e＝3.

　  有了例1的铺垫，再做例2时就能集中精力对付抽象字母λ.利用定比坐标公式算出E点坐标后，把点的坐标代入双曲线方程，可得到关于离心率e的代数式，反求出λ的值，根据2/3≤λ≤3/4，列出不等式组，解之（注意：解的过程并非轻松，这也正是需要分散难点的理由），即可得到答案.

    例2 已知在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，|AB|=2|CD|，点E分有向线段AC所成的比为λ，双曲线以A、B为焦点，且过C、D、E三点，当2/3≤λ≤3/4时，求离心率e的取值范围．（答：√7≤e≤√10）