对数学创新题一例的思考

大罕

     现代心理学从不同方向对思维进行了分类。从品质上划分，思维可分为再现思维和创造思维。再现思维是指依靠记忆而进行的思维，创造思维是指把已有的知识或经验综合运用从而解决新问题的思维。

     创造思维的特征一是依旧，二是创新。依旧是基础。创新是此基础上的精彩发挥。进行创造思维时，既有收敛，又有发散，不拘一格。收敛以集中思考，发散以捕捉灵感。

     新与旧是相对而言的，因而也是因人而异的。一则看似平平的数学问题，如果某学生在新意识下得以解决，也是一个创新。用数学解决实际问题时，情景的特殊性致使抽象出来的数据并非像数学教材里那么“规范” 、“养眼”，如我们仍能迎刃而解，则不能不称之为一次创新。

     以下的数学高考题，题目背景虽不知其出处，但无疑来自于某研究领域。题目读下来，感觉怪怪的：学习次数作为自变量，掌握程度作为函数，参变数则是与正实数a有关的学科知识。我们先读读题目吧：

    上海市2009年高考数学（理科）第20题如下：

    有时可用（分段）函数：当x≤6时，f(x)=0.1+15ln[a/(a-x)]；当x>6时, f(x)=(x-4.4)/(x-4) 描述学习某学科知识的掌握程度，其中x表示某学科知识的学习次数（x∈N*），f(x)表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关。

    ⑴证明：当x≥7时，掌握程度的增加量f(x+1)- f(x)总是下降；

    ⑵根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为(115,121],(121,12],(121,133]，当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科。   

    评析：第⑴问是证明函数的单调性。一般情况下是给出一个函数F(x)，本小题“怪”在没有直接给出欲研究其单调性的函数，给出的是掌握程度的增加量f(x+1)- f(x)——这个函数当x≥7时单调递减性，哈哈，迷惑了一部分学生。

   第⑵问给出甲乙丙学科对应的a的取值范围，依条件求出a值后对号入座，确定相应的学科。这里既不是求自变量的值，也不是求函数值，而是在已知自变量x=6，函数值为0.85的情况下求参数a的值，你说怪不怪？

   见怪不怪，其怪自败。看穿题目之用心，竟如此简单！

　　其实，此题如按下述方式给出，则清澈如许：

   已知分段函数：当x≤6时，f(x)=0.1+15ln[a/(a-x)]；当x>6时, f(x)=(x-4.4)/(x-4)

    ⑴设G(x)=f(x+1)- f(x)(x≥7)，求证G(x)为减函数；

    ⑵当x=6，f(x)=0.85时，求a的值，并判断此时a属于下列区间的哪一个：(115,121],(121,12],(121,133].

   不过，一经改动，此题的创新意识全然消失了。悲乎，还是不改的好。