公比呈规律的等距分段等比数列
——天津2010年压轴题，玩赏之二

大罕

    2010年天津高考数学理科第22题(压轴题)是：
   【题目】在数列{a_n}中，a₁=0，且对任意k∈N*，a_2k-1,a_2k,a_2k+1成等差数列，其公差为d_k．
   ⑴若d_k=2k，证明a_2k,a_2k+1,a_2k+2成等比数列；
   ⑵(略)
   【玩赏】数列{a_n}的首项a₁=0，因为a_2k-1,a_2k,a_2k+1成等差数列，且公差为d_k=2k，此数列的前11项为：0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,60， 
    我们观察依次从偶数项开始的连续3项(即第2,3,4项,第4,5,6项,第6,7,8项,第8,9,10项)，发现它们分别成等比数列，且公比依次为2/1,3/2,4/3,5/4(可以猜测其公比q_k=(k+1)/k). 
    于是，也可以称此数列为公差呈规律的等距分段等比数列！
    具体验证毕竟不能代替一般的证明.
    那么我们从考察以下四项入手：a_2k-1,a_2k,a_2k+1,a_2k+2，已知前3项a_2k-1,a_2k,a_2k+1是公差为2k的等差数列，所以a_2k+1－a_2k-1=4k.据此有可能(!)求出a_2k+1＝f(k)，进而求出a_2k，于是a_2k+2（即a_2(k+1)）就可以求出来了，从而证明后3项成等比数列a_2k,a_2k+1,a_2k+2就唾手可得了.
    现在的关键是如何利用a_2k+1－a_2k-1=4k求出a_2k+1＝f(k)！
    注意到首项a₁=0,而且从a_2k+1到a₁只有k次“隔项跨越”，每次“隔项跨越”相差4k.这不正是可利用之处吗？
    a_2k+1－a₁=(a_2k+1－a_2k-1)+(a_2k-1－a_2k-3)+ (a_2k-3－a_2k-5)+…+ (a₃－a₁)
            =4k+4(k－1)+4(k－2)+4×1
            =2k(k+1) ,
    ∴a_2k+1=2k(k+1)
    乘胜前进:a_2k＝a_2k+1－2k=2k(k+1)-2k=2k² ,
    再进一步:a_2k+2＝a_2(k+1)= 2(k+1)² ,
    ∵a_2k+1²=4k²(k+1)²=2k²•2(k+1)²=a_2ka_2k+2,
    ∴a_2k,a_2k+1,a_2k+2成等比数列.（得证）