公差成等差的等距分段等差数列
——天津2010年压轴题，玩赏之一

大罕

    2010年天津高考数学理科第22题(压轴题)是：
   【题目】在数列{a_n}中，a₁=0，且对任意k∈N*，a_2k-1,a_2k,a_2k+1成等差数列，其公差为d_k．
   ⑴若d_k=2k，证明a_2k,a_2k+1,a_2k+2成等比数列；
   ⑵若对任意k∈N*，a_2k,a_2k+1,a_2k+2成等比数列，其公比为q_k，
    ①设q₁≠ 1,证明{1/(q_n-1}是等差数列;
    ②若a₂=2,证明3/2<2n-(2²/a₂+3²/a₃+4²/a₄+…+n²/a_n)≤2   (n≥2).
   【玩赏】这个数列似乎没有见过，试试看：
    设等差数列a_2k-1,a_2k,a_2k+1公差d_k=2k，此数列的前11项为：0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,60，
    具体计算过程是：
    当k=1时，d_k=2，∴a₁=0，a₂=2，a₃=4，即第1,2,3项是公差为2的等差数列,
    当k=2时，d_k=4，∴a₃=4，a₄=8，a₅=12，即第3,4,5项是公差为4的等差数列；
    当k=3时，d_k=6，∴a₅=12，a₆=18，a₇=24，即第5,6,7项是公差为6的等差数列；
    当k=4时，d_k=8，∴a₇=24，a₈=32，a₉=40，即第7,8,9项是公差为8的等差数列；
    当k=5时，d_k=10，∴a₉=40，a₁₀=50，a₁₁=60，即第9,10,11项是公差为10的等差数列；
    ………
    这叫什么数列啊？
    这个数列，依次从奇数项开始连续3项成等差数列，且公差为等差数列（正偶数数列）.
    于是，我称这样的数列为公差成等差的等距分段等差数列！