一字之差，路各不同
大罕

      同样条件下，一个是等差数列，一个是等比数列，一字之差，解法迥异！下面两个例子颇为有趣，记述如下：

     例1 若{a_n}为等差数列，a₁＝s，a₂=t，求lim[1/a₁a₂+1/a₂a₃+…+1/a_n-1a_n]
     分析：先对被求极限的式子Sn(以下称为被极式)求和。
     设等差数列{a_n}的公差为d，则d=t-s，a_n=s+( t-s) (n-1),
      S_n=1/a₁a₂+1/a₂a₃+…+1/a_n-1a_n
        =(1/d)[(1/a₁-1/a₂)+(1/a₂-1/a₃)+…+(1/a_n-1-1/a_n)]
        =(1/d)[(1/a₁-1/a_n)]
     ∴ limS_n =1/a₁d=1/s(t-s)
     注：对被极式的求和，用的是裂项求和法。    
     例2 若{a_n}为等比数列，a₁＝s，a₂=t，|t/s|>1，求lim[1/a₁a₂+1/a₂a₃+…+1/a_n-1a_n].
     分析：先对被极式Sn求和。       

         S_n=1/a₁a₂+1/a₂a₃+…+1/a_n-1a_n
         =1/a₁²q+1/a₁²q³+1/a₁²q⁵+…+1/a₁²q^2n-3

                    =1/a₁²(1/q+1/q³+1/q⁵+…+1/q^2n-3)
            ∵ |t/s|>1,

            ∴  |1/q|=|s/t|<1