等差比积数列的前n项和公式

大罕

    等差数列{a_n}：a₁ ,a₂, a_3,…, a_n，公差为d，等比数列{b_n}：b₁,b₂,b_3,…, b_n，公比为q(q≠1)，把两个数列相乘，得到： {a_nb_n}：a₁b₁ ,a₂b₂, a₃b_3,…, a_nb_n，我们称数列{a_nb_n }为等差比积数列（笔者的命名）.

    等差比积数列的求和，一般用错位相减求和法.由于诸多字母的参入，几经计算后答案是否正确，教师也心中无底. 这里我们给出一个公式，可供教师检验用，不提倡介绍给学生.

    以下推导差比积数列的前n项和公式：

      S_n=a₁b₁+a₂b₂+ a₃b₃+…+ a_nb_n                    ①

两边同乘以q，得

      qS_n=a₁b₂+a₂b₃+ a₃b₄+…+ a_nb_n+1                 ②

①-②得

   (1-q)S_n=a₁b₁+b₂(a₂ -a₁)+b₃(a₃-a₂)+b₄(a₄-a₃)+…+b_n(a_n-a_n-1)-a_n b_n+1

          =a₁b₁+d(b₂+b₃+b₄+…+b_n)-a_nb_n+1

          =a₁b₁+d(b₂+b₃+b₄+…+b_n)-a_nb_nq

          =a₁b₁+db₂(1-q^n-1)/(1-q)-a_nb_nq

于是有公式如下：

     
    以上公式，形式上蛮和谐的哟，第一项与等比数列前n项公式好相像的呢.

    例1 求和：S_n=1+2x+3x³+…+nx^n-1 （x≠0,x≠1）

    解：{a_n}：1, 2, 3, …, n,   d=1,

        {b_n}：1, x, x²_, …, x^n-1，q=x，

        a₁b₁=1，a_nb_nq=nxⁿ，b₂=x,

   所以

    
    例2 求和：S_n=1/a+2/a² +3/a³+…+n/aⁿ，（a≠1）

    解：{a_n}：1,2,3,…,n,   d=1,

        {b_n}：1/a,1/a²,1/a³_,…,1/aⁿ，q=1/a，

        a₁b₁=1/a，a_nb_nq=n/aⁿ⁺¹，b₂=1/a²,

  所以

     .

    练习：求和：

   答案：