数列求和的通项分析法（求和求和法）

大罕

    数列的求和，如遇到项的构造比较复杂时，首先要对数列的通项（一般项）加以分析，之后再采取相应办法求和，所以这个方法叫“通项分析求和法”.

    在对数列的项进行分析时，往往是对它进行求和处理，于是我们又把通项分析求和法称为“求和求和法”，即先局部求和，然后全局求和（有点绕口哇，正是这绕口才产生趣味）.

    数列的求和问题因方法灵活、计算繁琐，而让学生倍感棘手；有些似乎相近的问题因微小的区别而大相庭径，更让学生无所适从.正因为求和问题的灵活性与复杂性，所以常常初用来培养学生敏锐的观察能力、过硬的计算能力.需要指出的，训练学生时，还应该加强对近似问题的辨别，适时将相近的问题打包提出，供学生鉴别.

    以下就是三道相近的题目，都需要通项分析，但之后的方法迥异.

    例1.已知数列{a_n}的各项依次为a₁=2，a₂=2+2²，a₃=2+2²+2³，a₄=2+2²+2³+2⁴，…，求它的前n项和S_n.

    解：∵a_n=2+2²+2³+2⁴+…+2ⁿ=2(2ⁿ-1),

     ∴S_n= a₁+a₂+a₃+a₄+…+a_n

        =2(2¹-1)+2(2²-1)+2(2³-1)+ 2(2⁴-1)+…+ 2(2ⁿ-1)

        =2(2¹+2²+2³+2⁴+…+ 2ⁿ-n)

        =2(2ⁿ⁺¹-2-n)，

    例2.已知数列{a_n}的各项依次为a₁=2，a₂=2²+2³，a₃=2⁴+2⁵+2⁶，a₄=2⁷+2⁸+2⁹+2¹⁰，…，求它的前n项和S_n.

    解：∵a₁有1项，且最后一项的指数为1；

          a₂有2项，且最后一项的指数为1+2＝3；

          a₃有3项，且最后一项的指数为1+2+3＝6；

          a₄有4项，且最后一项的指数为1+2+3+4＝10；

          ……

        ∴a_n有n项，且最后一项的指数为1+2+3+4+…+n=n(n+1)/2.

        ∴S_n=a₁+a₂+a₃+a₄+…+a_n=2+2²+2³+2⁴+2⁵+2⁶+2⁷+2⁸+2⁹+2¹⁰+…+2^n(n+1)/2 (共n(n+1)/2项)

           =2[2^n(n+1)/2-1]

     例3. 已知等差数列{a_n}的公差为d，数列{b_n}各项依次为：b₁= a₁, b₂= a₁+a₂+a₁, b₃= a₁+a₂+ a₃+ a₂+a₁, ……，b_n= a₁+a₂+ a₃+…+a_n-1+ a_n+a_n-1+…+ a₃+ a₂+a₁ 求它的前n项和S_n .  

     解：首先对数列{b_n}的通项进行分析，即局部求和，如下：

       b_n= 2(a₁+a₂+ a₃+…+ a_n)-a_n

         =2[na₁+n(n-1)/2]-[a₁+(n-1)d]

         =2na₁+n(n-1)d-a₁-(n-1)d

         =(2n-1)a₁+(n-1)²d，

然后把通项的规律用于各项，将全局分组进行求和，如下：

     ∴S_n=a₁[2(1+2+3+…+n)-n]+d[(1-1)²+(2-1)²+(3-1)²+…+(n-1)²].

    = a₁ n²+(d/6)n(n-1)(2n-1)²

  ^即

    当a₁=1,d=1时，

    S_n= 1+（1+2+1）+（1+2+3+2+1）+…+[1+2+3+…（n-1）+n+(n-1)+…+3+ 2+1]

      =(n/6)[6n+(n-1)(2n-1)]

      =(1/6) n (n+1)(2n+1) .

这正与公式1²+2²+3²+…+n²=(1/6) n (n+1)(2n+1)相符.   

    不然看出，这3个例子，都是通项分析入手，对局部进行求和，但之后的方法有所不同，例1和例3采取的是分组求和的方法，而例2则采取的是一揽子求和的方法.同一个进口，不同的出口，显示了解题人的机智与灵活.