例谈解等差(比)数列的基本量法和性质法

大罕

    已知数列的某些元素，求解它的其它元素，叫解数列.

    解数列常用的方法是基本量法和性质法.

    基本量法是指把条件和结论统一化归为首项和公差（或公比）的式子，通过方程（组）的变换，得到欲求的结果.

    性质法是指利用等差（比）数列的性质，得到欲求的结果.

    一般说来，基本量是基本的方法，是“保本”的方法.只要足够的耐心，任何可解的等差（等比）数列都可以解出. 而性质法是快捷的方法，用得巧妙就可直达目标.

    这两种方法都是行之有效的，不可偏废.一味求稳守旧沿用基本法，可能会事倍功半；一味追求技巧凑用性质，可能会弄巧成拙，功亏一篑.

    请看下例，方法一四平八稳，方法二出奇制胜，都值得称道！

    例：设a,b,c,d成等比数列，求证：(b-c)² +(c-a)² +(d-b)²=(a-d)².

    证明一（基本量法）：

     ∵a,b,c,d成等比数列，∴ b=aq,，c=aq²，d=aq³，

     ∴左边＝(aq-aq²)²+(aq²-a)²+(aq³-aq)²

         ＝a²[(q-q²)²+(q²-1)²+(q³-q)²]

         ＝a²(q²-2q³+q⁴+q⁴-2q²+1+q⁶-2q⁴+q²)

         ＝a²(q⁶-2q⁴+1)

         ＝a²(q³-1)²

         ＝(qq³-a)²

         ＝(a-d)²

         ＝右边.

     证明二（性质法）：

      ∵a,b,c,d成等比数列，

      ∴ bc=ad,，b²=ac，c²=bd，

      ∴左边＝a²+d²-2ad+2(b²+c²-ac-bd)

         ＝a²+d²-2ad

         ＝(a-d)²

         ＝右边.