函数综合题，貌似吓人！

大罕

    学生不习惯于抽象的运算，而函数题往往是以抽象著称. 当需要综合运用函数性质时，这样的题目就貌似吓人了！一些学生信心不足，缺乏勇气，或裹足不前，或乱了方寸.可是，只要顺着路走，勇敢机智，山穷水尽疑无路，柳岸花明又一村.请看以下两个例子：

    例1.已知函数f(x)=(x+1-a)/(a-x)，

   （1）证明：f(x)+2+f(2a-x)=0对定义域内的所有x都成立. 

   （2）当f(x)的定义域为[a+1/2,a+1]  时，求证：f(x)的值域为[-3,-2].

   证明：

   （1）由f(x)=(x+1-a)/(a-x)知 f(2a-x)=(a-x+1)/(x-a) ，所以，

         f(x)+2+f(2a-x)=(x+1-a)/(a-x)+2+(a-x+1)/(x-a) ＝0，

即无论x取何值时 f(x)+2+f(2a-x)=0都成立.（注意：顺路走下去，直达目标，出于意外吗？）

   （2）将f(x)变形为f(x)=-1-1/(x-a),易知它在定义域 [a+1/2,a+1]上是单调递增函数，因此在定义域左端f(x)取得最小值，在右端f(x)取得最大值.

    将x=a+1/2代入，得f(a+1/2)=-3, 将x=a+1代入，得f(a+1)=-2，即值域为[-3,-2].（注意：把函数略加变形，看出其单调性，往下走，势如破竹.）

    例2. (上海2006年春考第21题)设函数f(x)=|x²-4x-5|，

    ⑴在区间[-2,6]上画出函数f(x)的图像；

    ⑵设集合A={x| f(x)≥5}，B=(-∞,-2)∪[0,4]∪[6,+∞). 试判断集合和之间的关系，并给出证明；B是A的真子集

    ⑶当k>2时，求证：在区间[-1,5]上，y=kx+3k的图像位于函数f(x)图像的上方.

    解：第⑴⑵小题比较简单，这里从略. 下面看第⑶题：

    ⑶∵当x∈[-1,5]时，x²-4x-5≤0，∴f(x)=|x²-4x-5|＝-(x²-4x-5),

    设F(x)=kx+3k-f(x)，则F(x)=x²+(k-4)x+3k-5＝[x+(x+4)/2]²-(k²-20k+36)/4，其图像的对称轴为x=-(x+4)/2.（注意：这一步是为转化本题作准备.）

    要证明当k>2时，在区间[-1,5]上，y=kx+3k的图像位于函数f(x)= -x²+4x+5图像的上方，只需证明当k>2时，在区间[-1,5]上，F(x)恒大于0. 即当k>2时，F(x)=x²+(k-4)x+3k-5>0对于x∈[-1,5]恒成立.（注意：这里有参数k的范围，k>2，也有自变量x的范围，-1≤x≤5.这正是难点之处.）

    首先考查：当k>2时，-(x+4)/2<1.(注意：这就是说，抛物线的对称轴位于直线x=1的左方.这个结果很重要，使讨论的范围更为具体了.)

    当-(k-4)/2<-1时，即k>6时，F(x) 在区间[-1,5]上是增函数，其最小值为F(-1)=1-k+4+3k-5=2k>0，∴k>6时, F(x)≥F(-1)>0.(为什么要讨论-(k-4)/2<-1？因为－1是给定区间[-1,5]的左端点，也就是说，当对称轴在区间[-1,5]左边时.)

    当-1≤-(k-4)/2<1时，即2²-20k+36)/4 =-(k-2)(k-18)/4，由于20.(注意：这是在讨论对称轴在区间[-1,5]内部时.至于对称轴在区间[-1,5]右边时，前面已述不予以讨论.)

    综上，当k>2时,在区间[-1,5]上，F(x)>0恒成立，故得证.

    从以上两个例子可以看出，抽象的函数综合题，决不是面目可憎的怪物，而是深刻反映数学现象的可爱的尤物.解函数综合题，首先不要被它抽象的模样吓倒了.其次，每一道题，其条件和结论都是一种暗示，为我们指出着解题的方向和路径，顺着路走就是了.当然，同时要随时准备将问题加以转化.什么是转化？简单地说，换一种说法或转一个视角，就是转化.问题一经转化，或许好办多了.

蔡幸娟：琵琶曲（点击打开）