纽结与链环的投影图
大罕
如何描绘纽结和链环？
拍摄照片是一个办法。可是，由于拍摄照片的角度原因，不一定能反映纽结和链环的本质特征。更重要的是，用照片是无法进行数学研究的，只有把研究对象数学化，才能实现这一目标。
光线射到纽结或链环，在背景上留下了投影。我们总可以选择适当的投影方向，使得投影图上的重叠点都是二重点（即不会有三个或三个以上的点的影子重叠在一起）。然后再以线条的虚实来表现重叠处两条线上下交叉的情景（如下图，一条线从另一线的上方或下方穿过）。这样得到的线条图称为投影图。一张投影图足以确定一个纽结或链环。
![[原创]纽结与链环的投影图](//simg.sinajs.cn/blog7style/images/common/sg_trans.gif "[原创]纽结与链环的投影图")
投影图并不能反映纽结或链环的全部信息，例如交叉处上下两条线之间的垂直距离，又如线经过多长才进入交叉点，而这些恰恰是我们研究纽结与链环时无关紧要的。因为我们允许绳圈的移位变形，如果两个链环有相同的投影图，那么一定可以作沿投影图方向的位移而把一个变成另一个。
当我们说投影图时，总是指已经用虚实线标出了交叉情况的图。如果像真实照片上让交叉点处的影子相交，那我们就会得到由一组自身相交的闭曲线构成的平面图形。这样得来的线条图中，我们把每个交点称为分岔点，而且每个分岔点都是四岔的，所以我们又称之为四岔地图。
显然，每一张投影图可以确定一张四岔地图，反过来说，一张四岔地图不能确定投影图。因为每个分岔点有两种可能的交叉情况（即虚实配置），所以从有n个分岔点的四岔地图上一共可以得到2n 张不同的投影图。当然，它们所代表的纽结或链环却不一定是互不相同的。
下图最左边是一张四岔地图，它有3个分岔点，可以得到23
=8张投影图。以下只画出了其中的4张。
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(2011-07-03 17:05:15) 
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