投影图的三种基本初等变换

大罕

纽结与链环可以用投影图来确定。然而等价的链环可以有不同的投影图。因此要利用投影图来研究纽结理论，就必须弄清楚绳圈在空间移位变形怎样在投影图上反映出来。当然，我们允许投影图作平面变形，即把平面看成橡皮薄膜时，画在上面的图形可能产生的变形。

以下给出一边形、二边形、三角形的概念。

一边形由一条曲线构成，它分为无卷和有卷两种情形；

二边形由二条曲线构成，它分为交叉的和叠置的两种情形；

三角形由三条曲线构成，它分为交叉的和叠置的两种情形。参见下图：

　　我们可以用类似的方法定义多边形。 

德国数学家瑞拉迈斯特（Reidemeister）在20世纪20年代指出，纽结与链环的同痕，从本质上讲是由投影图的三种基本变换（通常称为初等变换）来刻划的。

    用通俗的语言说：

    R₁是扭转变换，将原有的线扭转，消除或增加一个卷；

       R₂是平移变换，将上线和下线叠置的二边形移开，消除了这个二边形；或将相离的两线合拢，叠置成新的二边形；

       R₃ 是平移变换，将两条交叉线与第三线组成的三角形的第三线平移，使其与交叉线对顶方向的二线组成新的叠置三角形。

    需要指出的是：

　　第一，对于叠置的二边形和三角形才能进行以上R₂、R₃变换，而交叉的则不能；

　　第二， 三种初等变换是在投影图的局部进行的，在变换的那个部分除所画出的线外不能有别的线介入。换句话说，每一次初等变换都应该是“纯粹”的。例如下面的变换是不允许的，它不是合法的R₁变换：

   正确的变换是：先用变换R₃将直线移到卷的外面，再用R₁消除这个卷，得到的结果是与上面是不一样的：