2011年上海高考数学（理）第13题解答

大罕

    题目：设g(x)是定义在R上，以1为周期的函数，若函数f(x)=x+g(x)在区间[3,4]上的值域为[-2,5]，则f(x)在区间[-10,10]上的值域为           .

    解1：∵g(x)=f(x)-x，而g(x)是周期为1的函数，
    ∴g(x+1)=f(x+1)-x-1=f(x)-x
    ∴f(x+1)－f(x)=1
    于是有：f(3)-f(2)=1,
            f(2)-f(1)=1,
            ……
            f(-9)-f(-10)=1,
    将以上式子相加得：
      f(3)-f(－10)＝13,
    ∴f(－10)＝f(3)－13.
    同理可知f(10)-f(4)＝6,
    ∴f(10)＝f(4)+6,
    ∵f(x)=x+g(x)在区间[3,4]上的值域为[-2,5]，
    ∴f(3)≥-2,
    ∴f(－10)＝f(3)－13≥-15,
    同时，f(4)≤5,
    ∴f(100)＝f(4)+6≤11,
    ∴f(x)在区间[-10,10]上的值域为[-15,11].
   解2：g(x)为R上周期为1的函数，则g(x)=g(x+1)
    函数f(x)=x+g(x)在[3,4]的值域是[-2,5] 
    令x+6=t，当x∈[3,4]时，t=x+6∈[9,10]
    此时，f(t)=t+g(t)=(x+6)+g(x+6)=(x+6)+g(x)=[x+g(x)]+6
    所以，在t∈[9,10]时，f(t)∈[4,11]                  （1）
    同理，令x-13=t，在当x∈[3,4]时，t=x-13∈[-10,-9]
    此时，f(t)=t+g(t)=(x-13)+g(x-13)=(x-13)+g(x)=[x+g(x)]-13
    所以，当t∈[-10,-9]时，f(t)∈[-15,-8]              （2）
    由(1)(2)得到，f(x)在[-10,10]上的值域为[-15,11]

 　附：2011年上海高考数学（文）第14题及解答

　　试题：设g(x)是定义在R上，以1为周期的函数，若函数f(x)=x+g(x)在区间[0,1]]上的值域为[-2,5]，则f(x)在区间[0,3]上的值域为（　　　）.
　　解：g(x)为R上周期为1的函数，则g(x)=g(x+n)(n∈N*) ，
　　　　令x+1=t，则1≤t≤2,
　　　　∵　函数f(x)=x+g(x)在0≤x≤1的值域是-2,≤x≤5 ，
　　　　∴f(t)= t+g(t)= x+1+g(x+1) = x+g(x) +1∈[-1,6],
　　　　即当1≤x≤2时, f(x)∈[-1,6], 
　　　　又令x+2=t，则2≤t≤3,
　　　　∴f(t)= t+g(t)= x+2+g(x+2) = x+g(x) +2∈[0,7],
　　　　即当2≤x≤3时, f(x)∈[0,7]
　　　　∴当x∈[0,3]时, f(x)的值域为[-2,5]∪[-1,6]∪[0,7]=[-2,7] .