2011年上海高考数学（理）第14题探讨

大罕

    上海高考题具有重在基础，强在能力的特点。基础题到底，能力题到位，难度泾渭分明。选填题的第14题，解答题的第22、23题通常作为压轴题，重在考查学生的应变能力和扎实的基本功。2011年的第14题就是这样的，试分析如下。 
    题目. 已知点O(0,0)、Q₀(0,1)和点R₀(3,1)，记Q₀R₀的中点为P₁，取Q₀P₁和P₁R₀中的一条，记其端点为Q₁、R₁，使之满足(|OQ₁|-2) (|OR₁|-2)<0，记Q₁R ₁的中点为P₂，取Q₁P₂和P₂R₁中的一条，记其端点为Q₂、R₂，使之满足(|OQ₂|-2) (|OR₂|-2)<0，依次下去，得到P₁,P₂,…,P_n,…，则lim|Q₀P_n|=          .
    分析：Q₀R₀的中点为P₁， Q₁R₁的中点为P₂，Q₂R₂的中点为P₃，依次下去，点P₁,P₂,…,P_n,…均在线段Q₀R₀上，依次取线段Q_kR_k的中点为P_k+1，且选取P_k+1的标准是(|OQ_k|-2) (|OR_k|-2)<0，也就是说线段|OQ_k|和|OR_k|一个大于2，一个小于2.
     事实上，在线段Q₀R₀上存在一点P₀，|OP₀|=2.  那么，按题意，依次二分线段Q_kR_k时，始终让点Q_k和点R_k分别在点P₀的左右两边.  这样无限进行下去，点P_k+1 就会无限地越来越接近于点P₀. 于是，我们断定，点P_k+1的极限位置就是点P₀，于是|Q₀P_n|的极限是√3.

   评论：这道题确实很难，难在它的隐蔽性。其隐蔽性首先在于数学语言的表述！
    背景是给出了三点O(0,0)、Q₀(0,1)和点R₀(3,1)，也就给出了Rt△OQ₀R₀，其边长为1,3,√10.
    以下的表述很是绕人：“记Q₀R₀的中点为P₁，取Q₀P₁和P₁R₀中的一条，记其端点为Q₁、R₁，使之满足(|OQ₁|-2) (|OR₁|-2)<0”，这就给出了一个选择，在三点Q₀、P₁、R₀中选择两个点，使得它们与原点O的连线段之长，一条小于2，另一条大于2. 经计算，|OP₁|=√13/2<2,|OR₀|=√10>2,我们选择了P₁、R₀,把它们改记为Q₁、R₁（讨厌的改名！）.
    以下取Q₁R₁的中点为P₂. 这时面临的是同样的选择：在三点Q₁、P₂、R₁中选择两个点，使得它们与原点O的连线段之长，一条小于2，另一条大于2.  经计算，|OP₁|<2,|OP₂|=√98>16>2，我们选择了P₁、P₂，把它们改记为Q₂、R₂（这次改名更让人陷入困惑之中！）.    
    如果继续计算下去，会陷入算不清、看不透的迷魂阵，因为点P₁,P₂,…,P_n,…趋向于某个极限点的方式，即不是单向着的，也不是一左一右摆动着的.　这正是此题的隐蔽性之二.只有拨云破雾，捕捉出(|OQ_k|－2)(|OR_k|-2)<0所透露的信息，从而找到找出临界点(即点P₀，且｜OP₀}=2），才能逃脱厄运。
    解法的科学性。首先，教材对数列极限并没有用严格的数学语言加以定义，而是采用直观“形容”的方法说明极限的概念。所以，本题用直观形象的方式解答是完全可以的。其次，作为填空题并不需要按步就班地计算，那样做必“死”无疑。
    试题设置的意图。不识庐山真面目，只缘不在此山中。明显地，出题人旨在考查学生的数学理解能力。采用了严格的数学语言，无疑制造出层层迷雾和山峦迭嶂。问题是：这样的要求，是不是超出了考纲的要求？是不是远离了教材？值得讨论！