初中的两道平几题，颇有趣！

大罕

    以下两道平面几何题，是我在辅导学生时他们提出来的：
    1. △ABC中，AB=AC，F在BA延长线上，BA=AF，E是AC中点，延长EF交BC于D点（图1），
      求证：△ABD∽△EDC.（还有第2问第3问，这里从略.）
    2. 正方形DEFG内接于△ABC（图2），△AGF、△FEC、△GBD的面积分别为1、1、3，
      求：正方形DEFG的面积.

   第1道题，学生说她想了一节课也没想出来。
   我拿到手后，第一感觉是：要充分利用“点A是BF中点，E是AC中点”这两个条件.
   首先想到的是取BC的中点，并连结FC，可知△FBC是Rt△，再往下就陷入迷茫之中了。原因在于：没充分利用两个中点！
   接着想到，取BD的中点，连结AM，顿时眼睛一亮：AM是△FBC的中位线，ED是△AMC的中位线（见图1），中点，中点，中点，两两连结分别成为两个三角形的中位线，妙哉！
   以下的路就平坦了.
   第2道题，学生看到她的老师好像添了一条辅助线：过F作AC的平行线，我看后觉得莫名其妙，看不出这条辅助线有什么好的作用，立刻摒弃了这一思路.
   想到，既然是正方形，那么四边是相等的，记为x；同时对边是平行的，就有成比例线段产生，加上位于三个角的三角形均为直角三角形，其面积是两直角边之积的1/2，于是记BD=y,EC=z，这时已经出现了3个未知数，嘻嘻，够大胆的！
   干脆，一不做二不休，令△AGF的高AH＝u，四个未知数啦。不要紧，硬着头皮往前闯吧。列方程组如下
     xu=2          ①
     xz=2          ②
     xy=6          ③
   最后一个方程最难列出，利用本身面积等于本身，有：
    xy+xz+xu+x²=(x+y+z)(x+u)         ④
   四元二次方程组！
   能解吗？解起来很难吗？成为关键.
   先消去u，顺得.
   再消y，顺利！
   再消z，也顺利！
   最后得到：x²=4.
   太好啦，正方形的面积为4。大功告成！
  

   附注：此文发表后，笔者又作了思考.发现第2题只需设两个求知数便可求解.
   设正方形边长为x，EC的长为z，由△AGF、△FEC的面积分别为1、1，可知AH=EC=z，又由△FEC、△GBD的面积分别为1、3，可知BD=3z,于是可得方程组：
    x∶(x+4z)=z∶(x+z)    ① 
   (x+4z)(x+z)=2(5+x²)    ②
   解之求得x²=4，即成.

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