一道有趣的数列应用题

大罕

    有一道有趣的数列应用题，学生普遍感到疑难：

    某渔业公司今年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞，第一年需各种费用12万元，从第二年开始包括维修费在内，每年所需费用均比上一年增加4万元，该渔船每年捕捞总收入为50万元。

   （1）该渔船捕捞几年开始盈利（即总收入减去购船成本及所有费用之差为正值）？

   （2）该渔船捕捞若干年后，处理方案有两种：①当年平均盈利达到最大值时，以26万元的价格卖出；②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出.问哪一种方案较为合算，请说明理由.

   解：设经过n年，总盈利为y万元,则有

     y=50n-[12+16+…+(4n+12)]-98=-2n²+40n-98=-2(n-10)²+102,

   (1)当开始盈利时,y>0，即-2n²+40n-98>0 ,解得10-√51<n<10+√51, n=3,4,… ,17. 所以从第3年开始盈利.

   (2) ①平均盈利为 (-2n²+40n-98)/n=-2(n+49/n)+40≤12(n=7时取得最大值)，即当7年时平均盈利最大,此时盈利总额为7×12=84万元, 若以26万元价格卖出,共获利110万元.   

   ②当盈利总额达最大值时，y=-(x-10)2+102取得最大值，所以10年后盈利达到最大,此时盈利总额为102万元,若以8万元价格卖出,共获利110万元.

   综上所述，两个方案均盈利110万元，但方案①只用7年，方案②要用10年，所以方案①较为合理.

   评点：此题的难点在理解“平均盈利”和“盈利总额达到最大值”两个概念．平均盈利是将盈利函数除以年份，而盈利总额达到最大值是将盈利函数求其最大值．