教学絮语~数学归纳法

大罕

    ☆数学归纳法属于“刚性”内容，发掘空间不大，不像数列能深不可测。教学目标上，它作为工具，能用数学归纳法证明等式、不等式、整除性和几何命题就可以了．

    ☆证明等式或不等式时，要弄清左右两边的结构。基本方法是：排头排尾夹中间。例如：

     （n+1）(n+2)(n+3)…(n+n)=2ⁿ×1×3×…(2n-1) (n∈N^*) ．

    当n=1时，左边的排头是1+1，排尾也是1+1，怎么取？打个比方，你在家里是老大，也是老么，试问：你家有几个孩子？当然是一个，所以左边只能取一个1+1，同理，右边只能取2¹×1．

    当n=k时，等式为（k+1）(k+2)(k+3)…(k+k)=2^k×1×3×…×(2k-1) ．

    当n=k+1时，左边的排头是k+1+1=k+2，排尾是k+1+k+1=2k+2，中间以阶梯式过度，为(k+3)(k+4)…(k+k)(2k+1)．因此左边应为 (k+2)(k+3)(k+4)…(k+k)(2k+1)(2k+2)．两者相比，n=k+1时左边比n=k时左边增加了因子 (2k+1)(2k+2)/(k+2)；

    再看右边，当n=k+1时，右边应为2^k+1×1×3×…×(2k-1)(2k+1) ．

    ☆证明等式1+2×3+3×3²+4×3³+…+n(3^n-1)=(1/4)[1+(2n-1)3ⁿ]，当n=k+1时，左边=（1/4）[1+(2k-1)3^k]+(k+1)3^k，如何整理? 学生习惯于打开括号，结果是越做越乱，走投无路（学生王园萍语）。好比收拾屋子一样，把所有箱子柜子都翻出来再全部重新收拾，显然是不可取的．应该怎样整理呢？提取公因式1/4即可，越做越顺利．须知，提取公因式是整理式子的常用手段．

    ☆用数学归纳法证明命题，不同类型问题在处理上是有所区别的．

    证明等式是从左边恒等过去，套用了n=k的等式右边之后，进行恒等变形，一般是用提取公因法和十字相乘法加以变形；

    证明不等式往往要用舍项法（即放缩法）或ＰＫ法（即比较法），从而到达n=k+1时的右边．要看准目标，切不可盲从而随波逐流；

    证明整除性要把n=k＋1的式子强迫地凑出n=k时的式子，同时加以平衡，保证原式实质上未变，但从形式上已获证．

    证明几何命题要从几何意义和代数取值两个方面同时展开，以促成统一．

    ☆证题时，从n=k到n=k+1是关键．当n=k+1时，先逼着左边产生n=k时的左边，以便运用条件；再一步一步化n=k＋1时左边成为n=k＋1时的右边，以便完成证明．

吻别（张学友）