关于抛物线的焦点弦

大罕

直线过圆锥曲线的焦点，所截得的线段称为焦点弦.在上海新课改教材里，由于不给出圆锥曲线的统一定义，所以焦半径无法提及，但焦点弦的习题仍在视野之内.特别是抛物线的焦点弦，由于其特殊性，以下两条是经常要用到的，必须加以关注：

之一，抛物线y²=2px的弦长为｜AB｜=x₁+x₂+p ；

之二，见以下的例1.

以下是典型的例子，例1和例2给出了提示，例3和例4照此办理即可。

例1 抛物线y²=2px的焦点的一条直线与它交于A(x₁,y₁), B(x₂,y₂)两点，求证：y₁y₂＝-p².

略证：抛物线的焦点坐标为(p/2,0),设直线AB的方程为x=my+p/2,代入到方程y²=2px中，得

     y²－2pmy－p² = 0，所以y₁y₂＝-p².

例2.过抛物线y²=2px的焦点的一条直线与它交于A、B两点，经过点A和坐标原点O的直线交抛物线的准线于点C，求证直线CB平行于x轴。

    略解：记A(x₁,y₁), B (x₂,y₂)，首先证明y₁y₂＝-p²,

    因为BC∥x轴，且点c在准线x=－p/2上，所以点C的坐标为（－p/2,y₂），

    所以直线CO的斜率为k=y₂/(-p/2)=2p/y₁=y₁/x₂，这表明k也是直线OA的斜率，所以直线AC经过原点.

    例3．抛物线y²=4x的焦点被焦点弦分成长是m和n的两部分，则m与n的关系是(  )． A
       A m＋n=mn     B m＋n=4        C mn=4        D 无法确定
   

    例4．抛物线y²=2x与过焦点的直线交于A,B两点，向量OA＝a，向量OB＝b,  则ab＝(    )．B`

       A　3/4         B　=3/4           C　3           D　－3

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